Question

如图，在矩形ABCD中，连结BD，过点C作CF⊥BD于F，过点A作AE∥CF交BC延长线于E，交BD于M，CH⊥AE于H．
（1）求证：AG=CF；
（2）若M是GH中点，AG=8，求BD和CE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：压轴题

分析：（1）根据全等三角形的判定得出△AGD≌△CFB，进而得出答案；
（2）首先根据已知得出△CHM∽△DGM，以及四边形GFCH是矩形和△AGD∽△DCB，进而得出对应边之间的关系，即可得出AD与DG之间的数量关系，进而求出即可．

解答：（1）证明：∵CF⊥BD，AE∥CF，
∴∠BFC=∠AGD=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
在△AGD和△CFB中，

∠AGD=∠CFB ∠1=∠2 AD=BC

，
∴△AGD≌△CFB（AAS），
∴AG=CF；

（2）解：由题意可得出：∠CFG=∠FGH=∠CHG=90°，
∴四边形GFCH是矩形，
∴FC=GH，CH=FG，
∵CH∥BD，
∴△CHM∽△DGM，
∵GM=MH，
∴DM=CM，DG=CH，
∵△AGD≌△CFB，
∴DG=BF，
∴BF=FG=DG，
∵CH∥BG，
∴

CH

BG

=

HE

GE

=

1

2

，
∴GH=HE，
∵∠1=∠2，∠AGD=∠BCD，
∴△AGD∽△DCB，
∴

AD

BD

=

DG

BC

，
设AD=y，BF=FG=DG=x，
∴

y

3x

=

x

y

，
解得：y=

3

x，
∵AD²=DG²+AG²，
∴（

3

x）²=x²+8²，
解得：x=4

2

，
∴BD=3×4

2

=12

2

，
∵HE=8，CH=4

2

，
∴EC=

HE2+HE2

=4

6

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，根据已知得出AD与DG之间的数量关系是解题关键．