Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动．运动时间为t秒；
（1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长；
（2）写出t的取值范围；
（3）用含有t的代数式表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积；
（4）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值．

Answer 1

（1）t时刻时，
∵点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，
∴CP=t，BQ=2t，
即用含有t的代数式表示BQ、CP的长为：BQ=2t，CP=t．

（2）∵点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，
∴Q的速度是P的两倍，
∵2AC＜BC，
∴可知P先到达A点，
且t=

AC

1

=4．
∵若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动，
∴t的取值范围是：0≤t≤4．

（3）由（1）得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm，
∴CQ=12-2t，
∴Rt△PCQ的面积为

1

2

×CQ×CP=

1

2

×(12-2t)×t=t（6-t），
∵Rt△ABC的面积为

1

2

×AC×BC=

1

2

×4×12=24，
∴四边形APQB的面积=Rt△ABC的面积-Rt△PCQ的面积=24-t（6-t）．

（4）由（3）得四边形APQB的面积为24-t（6-t），
变形为t²-6t+24=（t-3）²+15，
根据二次函数的性质可知，当t=-

-6

2×1

=3时，取得最小值，解为15．
即CP=3cm，BQ=6cm时面积最小，最小为15cm²．