Question

如图，在△ABC中，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，且2∠A+∠B=90°，
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若OA=6，且OD=BD，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵

CD

=

CD

，
∴∠COD=2∠A，
∵2∠A+∠B=90°，
∴∠COD+∠B=90°，
在△OCB中，∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接CD，
∵∠COB=2∠A，2∠A+∠B=90°，
∴∠B+∠COA=90°，
∵CD=

1

2

BO，
∵OD=BD，
∴CD=

1

2

AD，
∴∠A=30°
∴cos30°=

AC

AD

，
∵AD=2AB=12，
∴AC=6

3

．