题目内容
如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于C点，过C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及
的长．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及
 |
| BC |
（1）（方法一）∵DC⊥OA，OC为半径且点C在⊙O外端，
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=
，BD：AD=1：2，
∴sinA=
；∴∠A=30°，
∴tanA=
．
（方法二）∵DC⊥OA，OC为半径且点C在⊙O外端．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴设CD=k，AD=2k；
∴AC=
k；
∴tanA=
=
．
（2）连接OB；
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=
，OB=1；
∴AB=
∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴
的长=
．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=
| DC |
| AD |
∴sinA=
| 1 |
| 2 |
∴tanA=
| ||
| 3 |
（方法二）∵DC⊥OA，OC为半径且点C在⊙O外端．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴设CD=k，AD=2k；
∴AC=
| 3 |
∴tanA=
| DC |
| AC |
| ||
| 3 |
（2）连接OB；
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=
| OB |
| AB |
∴AB=
| 3 |
∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴
|
| BC |
| π |
| 3 |
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