Question

如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切线于点B，AC与⊙O相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠BED=70°，⊙O的半径为2，求劣弧BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BC是⊙O相切线，
∴AB⊥BC，
∴∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
即OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵∠ABE=∠ODE=90°，∠BED=70°，
∴∠BOD=360°-∠ABE-∠ODE-∠BED=110°，
∴劣弧BD的长为：

110

180

×π×2=

11

9

π．