题目内容

如图,矩形EFGH的边EF=6cm,EH=3cm,在平行四边形ABCD中,BC=10cm,AB=5cm,sin∠ABC=
3
5
,点EFBC在同一直线上,且FB=1cm,矩形从F点开始以1cm/s的速度沿直线FC向右移动,当D点落在边CF所在直线上即停止.
(1)在矩形运动过程中,何时矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点?
(2)在矩形运动过程中,当矩形与平行四边形重叠部分为五边形时,求出重叠面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系式,并写出时间t的范围.是否存在某一时刻,使得重叠部分的面积S=16.5cm2?若存在,求出时间t,若不存在,说明理由.(3)若矩形运动的同时,点Q从点C出发沿C-D-A-B的路线,以0.5cm/s的速度运动,矩形停止时点Q也即停止运动,则点Q在进行一边上运动的时间为多少s?
(1)作AM⊥BC,∵AB=5,sin∠ABC=3/5,
∴BM=4,AM=3,
①当GF边通过AB边的中点N时,
有BF=
1
2
BM=2,
∴t1=3(s).
②当EH边通过AB边的中点N时,
有BE=
1
2
BM=2,
∴BF=2+6=8,
∴t2=8+1=9(s).
③当GF边通过CD边的中点K时,
有CF=2,
∴t3=1+10+2=13(s),
综上,当t等于3s或9s或13s时,矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点.


(2)设当矩形运动到t(s)(7<t<11)时与平行四边形的重叠部分为五边形,
则BE=t-7,AH=4-(t-7)=11-t,
在矩形EFGH中,有AHBF,
∴△AHP△BEP,
BE
HA
=
PE
PH

11-t
t-7
=
EP
3-EP

∴EP=
3(11-t)
4

∴S=18-
1
2
(11-t)×
3(11-t)
4

=-
3
8
(t-11)2+18(7<t<11),
由对称性知当11<t<15时重叠部分仍为五边形,
综上S与t的函数关系式为:S=-
3
8
(t-11)2+18(7<t<15且t≠11),
把s=16.5代入得:16.5=-
3
8
(t-11)2+18,
∴t1=9,t2=13,
即当t等于9s或13s时重叠部分的面积为16.5cm2

(3)点Q从点C运动到点D所需的时间为:
5÷(
1
2
)=10(s),
此时,DG=1+14-10=5
点Q从D点运动开始到与矩形相遇所需的时间为:
5
1+
1
2
=
10
3

∴矩形从与点Q相遇到运动到停止所需的时间为:5-
10
3
=
5
3

从相遇到停止点Q运动的路程为:
1
2
×
5
3
=
5
6
5
6
+
5
3
=
5
2
<6,
即点Q从相遇到停止一直在矩形的边GH上运动,
∴点Q在矩形的一边上运动的时间为:
5
3
s
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