题目内容
如图,△ABC中,点P是边AC上的一个动点,过P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:PE=PF;
(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能是矩形吗?说明理由;
(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且
=
.求此时∠BAC的大小.
(1)求证:PE=PF;
(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能是矩形吗?说明理由;
(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且
AP |
BC |
| ||
2 |
(1)证明:∵CE平分∠BCA,
∴∠BCE=∠ECP,
又∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠CEP,
∴∠ECP=∠CEP,
∴PE=PC;
同理PF=PC,
∴PE=PF;
(2)当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
由(1)可知PE=PF,
∵P是AC中点,
∴AP=PC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,
且∠BCA+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=
(∠BCA+∠ACD)=
×180°=90°,
∴平行四边形AECF是矩形;
(3)若四边形AECF是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP.
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴tan∠BAC=
=
=
,
∴∠BAC=30°.
∴∠BCE=∠ECP,
又∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠CEP,
∴∠ECP=∠CEP,
∴PE=PC;
同理PF=PC,
∴PE=PF;
(2)当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
由(1)可知PE=PF,
∵P是AC中点,
∴AP=PC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,
且∠BCA+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴平行四边形AECF是矩形;
(3)若四边形AECF是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP.
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴tan∠BAC=
BC |
AC |
2 | ||
2
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| ||
3 |
∴∠BAC=30°.
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