Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC=CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．

（1）求证：AF⊥EF；（2）若cosA=，BE=1，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）略；（2）.

【解析】

（1）连接AC，OC，如图，先证明OC∥AF，再根据切线的性质得OC⊥EF，从而得到AF⊥EF；

（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，利用余弦的定义得到，解得r＝4，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．

解：（1）连接AC，OC，如图，

∵CD＝BC，

∴，

∴∠1＝∠2，

∵OA＝OC，

∴∠2＝∠OCA，

∴∠1＝∠OCA，

∴OC∥AF，

∵EF为切线，

∴OC⊥EF，

∴AF⊥EF；

（2）∵OC∥AF，

∴∠COE＝∠DAB，

在Rt△OCE中，设OC＝r，

∵cos∠COE＝cos∠DAB＝，即，

解得r＝4，

连接BD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△ADB中，cos∠DAB＝，

∴AD＝×8＝．