题目内容
【题目】 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，将△ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，且CD=3．
（1）求CF的长；
（2）点G是射线BA上的一个动点，连接DG，GC，BD，△DGC的面积与△DGB的面积相等，
①当点G在线段BA上时，求BG的长；
②当点G在线段BA的延长线上时，BG=______；
（3）将直线EF平移，平移后的直线与直线BC，直线AC分别交于点M和点N，以线段MN为一边作正方形MNPQ，点P与点B在直线MN两侧，连接PD，当PD∥BC时，请直接写出tan∠QBC的值．
【答案】（1）
；（2）①
； ②3
；（3）
【解析】
（1）如图1中，连接DF，在Rt△DCF中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
（2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，证明AB=2AG时，满足条件．
（3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．利用全等三角形以及相似三角形的性质解决问题即可．
解：（1）如图1中，连接DF
∵将△ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处
∴DF=BF
在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2，
∴（6-CF）2=9+CF2，
∴CF=
．
（2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．
在Rt△ACB中，AC=4，BC=6，
∴AB=
=2
，
∵DG∥BC，
∴
=
，
∴
=
，
∴x=
．
②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，
∵CD=3AD，
∴S△GDC=3S△QAD，
∴当S△ADB=2S△ADG时，S△GDC=S△GBD，
∴AB=2AG，
∴AG=，
∴GB=3，
故答案为：3
．
（3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴易证△PDN≌△NCM≌△MKA，
∴KQ=CM=DN，KM=CN=PD，∠DPN=∠CNM
∵∠CBD＋∠NMC=90°
∵∠CNM＋∠NMC=90°
∴∠CNM=∠CBD
∴∠DPN=∠CBD
∴△PDN∽△BCD，
∴
=
，
∴
=
，
∴PD=2DN，
∴CN=2DN，
∴DN=1，CN=2，
∴KQ=DN=CM=1，KM=CN=2，
∴BK=9，
∴tan∠QBC=
=
．
【题目】我校2019年度“一中好声音“校园歌手比赛已正式拉开序幕，其中甲，乙两位同学的表现分外突出，现场A、B、C、D、E、F六位评委的打分情况以及随机抽取的50名同学的民意调查结果分别如下统计表和不完整的条形统计图：
A | B | C | D | E | F | |
甲 | 88 | m | 90 | 93 | 95 | 96 |
乙 | 89 | 92 | 90 | 97 | 94 | 93 |
（1）a＝ ，六位评委对乙同学所打分数的中位数是 ，并补全条形统计图；
（2）六位评委对甲同学所打分数的平均分为92分，则m＝ ；
（3）学校规定评分标准：去掉评委评分中最高和最低分，再算平均分，并将平均分与民意测评分按3：2计算最后得分，求甲、乙两位同学的得分，（民意测评分＝“好”票数×2+“较好”票数×1+“一般”票数×0）
（4）现准备从甲、乙两位同学中选一位优秀同学代表重庆一中参加市歌手大赛，请问选哪位同学？并说明理由．
