Question

【题目】已知直线与双曲线交于，两点，过作轴于点，过作轴于点，连接．

（Ⅰ）求，两点的坐标；

（Ⅱ）试探究直线与的位置关系并说明理由．

（Ⅲ）已知点，且，在抛物线上，若当（其中）时，函数的最小值为，最大值为，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）若，则，，若，则，；（Ⅱ），理由见解析；（Ⅲ）的值为

【解析】

（Ⅰ）把直线y＝x＋t与双曲线的解析式联立成方程组，解方程组即可求出交点坐标，即C、D两点的坐标；

（Ⅱ）位置关系是：平行，求出直线AB的解析式，与直线CD的解析式y＝x＋t比较，k相等说明两直线平行；

（Ⅲ）先求出C点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，最后通过分类讨论：①当时，②当，③当，分别根据函数的最小值为，最大值为，结合二次函数的性质列出方程，得出m，n的值．

解：（Ⅰ）联立，解得：或，

设，，

若，则，，

若，则，；

（Ⅱ），

理由：不妨设，

由（1）知， ，

∴，，

设直线的解析式为，

则将，两点坐标代入有：，，

∴，

∴直线的解析式为：，

∴直线与的位置关系是；

（Ⅲ）将代入双曲线得，

将代入直线，得，

∵，

∴由（Ⅰ）知，

∴，

∵，在抛物线上，

∴，解得，

即，

由，可知，，

①当时，由函数的最小值为，最大值为，可知，

∴，即为一元二次方程的两解，即，

∵，

∴，．

又∵，

∴此情况不合题意；

②当，即时，

由函数的最小值为，最大值为，可知，

解得：，

此时，即，符合题意，

∴；

③当，即时，

由函数的最小值为，最大值为，可知，

解得：，

∵，

∴此情况不合题意，

综上所述，满足题意的的值为．