Question

如图1，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=

k

x

(x＜0)于点N，连ON，且S_△OBN=10．

（1）求双曲线的解析式；
（2）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=-2于点Q，∠FCB=∠QBC，PC=QB求平移后的直线PQ的解析式；
（3）如图3，已知A（2，0）点M为双曲线上一点，CE⊥OM于M，AF⊥OM于F，设梯形CEFA的面积为S，且AF•EF=

2

3

S，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵当y=0时，即-x+4=0，
解得：x=4，
当x=0时，y=4，
∴点B的坐标为：（4，0），点C的坐标为（0，4），
∴OB=OC=4，
∵S_△OBN=10，
∴S_△OBN=S_△OCN+S_△OBC=10，
设点N的坐标为（x，y），
∴

1

2

×4×|x|+

1

2

×4×4=10，
∴x=-1，
∴y=-x+4=1+4=5，
∴点N的坐标为：（-1，5），
∴k=xy=-5，
∴双曲线的解析式为：y=-

5

x

；

（2）作PE⊥y轴于E，作QF⊥x轴于F，
则∠PEC=∠QFB=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠PCB=∠QBC，
∴∠PCE=∠QBF，
在△PCE和△QBC中，

∠PEC=∠QFB ∠PCE=∠QBF PC=QB

，
∴△PCE≌△QBF（AAS），
∴PE=QF=2，
令x=-2，则y=-

5

-2

=

5

2

，
∴P点的坐标为：（-2，

5

2

），
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为：y=-x+b，
将P（-2，

5

2

）代入得：

5

2

=2+b，
解得：b=

1

2

，
∴平移后的直线PQ的解析式为：y=-x+

1

2

；

（3）作AG⊥EC于G，交OC于H，作FI⊥OA于I，连接EH，
∵CE⊥EF，FA⊥EF，
∴四边形AFEG是矩形，
∴∠GAF=90°，EG=FA，
∵S=

1

2

（AF+EC）•EF，AF•EF=

2

3

S，
∴AF•EF=

1

3

（AF•EF+EC•EF），
∴EC=2AF，
∴EG=

1

2

EC，
即EG=GC，
∵GH⊥EC，
∴CH=EH，
∴∠CEH=∠ECH，
∵∠HEO+∠CEH=∠EOH+∠ECH=90°，
∴∠HEO=∠EOH，
∴EH=OH=

1

2

OC=2，
∵OA=2，
∴OH=OA，
∴∠HAO=45°，
∴∠OAF=45°，
∴OI=OF=1，
∴点F的坐标为（1，-1），
设直线EF的解析式为：y=kx，
∴k=-1，
∴直线EF的解析式为：y=-x，
联立：

y=- 5 x y=-x

，
解得：

x= 5 y=- 5

（舍去），

x=- 5 y= 5

．
∴点M的坐标为：（-

5

，

5

）．