Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与、轴分别交于、两点.点为线段的中点．过点作直线轴于点．

（1）直接写出的坐标；

（2）如图1，点是直线上的动点，连接、，线段在直线上运动，记为，点是轴上的动点，连接点、，当取最大时，求的最小值；

（3）如图2，在轴正半轴取点，使得，以为直角边在轴右侧作直角，，且，作的角平分线，将沿射线方向平移，点、，平移后的对应点分别记作、、，当的点恰好落在射线上时，连接，，将绕点沿顺时针方向旋转后得，在直线上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）存在，或

【解析】

（1）求出B，C两点坐标，利用中点坐标公式计算即可． （2）如图1中，作点B关于直线m的对称点，连接CB′，延长CB′交直线m于点P，此时PC-PB的值最大．求出直线CB′的解析式可得点P坐标，作PT∥BC，且PT=CD=5，作TE⊥AC于E，交BC于C′，此时PD′+D′C′+C′E的值最小． （3）如图2中，由题意易知，，．分两种情形：①当时，设．②当时，分别构建方程即可解决问题．

解：（1）∵直线与轴分别交于C、B两点，

∴B（0，6），C（-8，0），

∵CD=DB， ∴D（-4，3）．

（2）如图1中，作点B关于直线m的对称点B′（-4，6），连接CB′，延长CB′交直线m于点P，此时PC-PB的值最大．

∵C（-8，0），B′（-4，6），

∴直线CB′的解析式为， ∴P（-2，9），

作PT∥BC，且PT=CD=5，作TE⊥AC于E，交BC于C′，

此时PD′+D′C′+C′E的值最小．

由题意点P向左平移4个单位，向下平移3个单位得到T，

∴T（-6，6）， ∴PD′+D′C′+C′E=TC′+PT+C′E=PT+TE=5+6=11．

∴PD′+D′C′+C′E的最小值为11．

（3）如图2中，延长交BK′于J，设BK′交OC于R．

∵B′S′=BS=4，S′K′=SK=，BK′平分∠CBO，

所以，所以OR=3，tan∠OBR= ，

∵∠S′JK′=∠OBR=∠RBC， ∴tan∠S′JK′==，

∴，∵， ∴，所以为的中点，

， ∴，

由旋转的性质可知：，．

①当时，设，

，

解得， 所以．

②当时，同理则有，

整理得：， 解得 ，

所以，

又因为，，所以直线为，

此时在直线上，此时三角形不存在，故舍去．

综上所述，满足条件的点N的坐标为或．