Question

如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连结EC、BD．
(1)求证：ΔABD∽ΔACE；
(2)若ΔBEC与ΔBDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．

Answer 1

(1) 证明见解析(2) 等腰三角形

（1）证明：∵弧ED所对的圆周角相等，∴∠EBD=∠ECD，
又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE。
（2）解：△ABC为等腰三角形。理由如下：
∵S_△BEC=S_△BCD，S_△ACE=S_△ABC－S_△BEC，S_△ABD=S_△ABC－S_△BCD，
∴S_△ACE=S_△ABD。
又由（1）知△ABD∽△ACE，∴对应边之比等于1。
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
（1）利用圆周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE。
（2）根据△BEC与△BDC的面积相等，得出S_△ACE=S_△ABD，进而求出AB=AC，得出答案。