Question

已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：AP=PD；
（2）请判断A，D，F三点是否在以P为圆心，以PD为半径的圆上？并说明理由；
（3）连接CD，若CD﹦3，BD ﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）见解析

试题分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
（3）利用等弧所对的弦相等，得出AD的长度，再根据勾股定理得出AB的长度，然后得出园的半径，再根据相似直角三角形对应对成比例竿出DE的长度.
解：(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA  
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD 
∴∠DAC ＝∠DBA       ∵AB为直径，   ∴∠ADB＝90° 
又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90° 
∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP 
∴PD＝PA     ………………………………………………4分
(2）A，D，F三点在以P为圆心，以PD为半径的圆上
∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC
∴∠PDF＝∠PFD                    
∴PD＝PF  ∴PA＝PD= PF 
即 A，D，F三点在以P为圆心，以PD为半径的圆上…………….8分
（3）⊙O的半径是2.5；DE的长是2.4
点评：本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件，此类题是中考的常考题，需要同学们牢固掌握．