题目内容
【题目】菱形ABCD中,∠B=60°,∠MAN=60°,射线AM交直线BC于点E,射线AN交直线CD于点F,连结EF,请解答下列问题:
(1)如图1,求证:EC+FC=AC;
(2)将∠MAN绕点A旋转,如图2,如图3,请直接写出线段EC,FC,AC之间的数量关系,不需要证明;
(3)若S菱形ABCD=18 ,∠CAE=30°,则CF=
【答案】
(1)
解:如图1所示:
∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°
∴AB=BC,∠ACF=∠B=60°.
又∵∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形.
∴AC=BC=AB,∠BAC=60°.
又∵∠MAN=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中 ,
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
∴EC+CF=EC+BE=BC.
又∵BC=AC,
∴EC+CF=AC
(2)
解:如图2所示:AC+CF=EC.
∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°
∴AB=BC,∠ACD=∠B=60°.
∴∠ACF=120°.
∵∠B=60°,AB=BC,
∴△ABC为等边三角形.
∴AC=BC=AB,∠ABC=60°.
∴∠ABE=120°.
∴∠ABE=∠ACF.
∵∠MAN=∠BAC=60°
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中 ,
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
∴FC+BC=BE+BC=CE.
∵BC=AC,
∴FC+AC=CE.
如图3所示:
又∵BC=AC,
∴EC+CF=AC.
如图3所示:CF=AC+CE.
在△ACE和△ADF中 ,
△ACE≌△ADF(ASA).
∴CE=DF.
∴CF=CD+DF=CD+CE=AC+CE,即CF=AC+CE
(3)3或12
【解析】解:(3)如图1所示:
∵∠CAE=30°,∠CAB=60°,
∴AE平分∠CAB.
又∵AB=AC,
∴AE⊥BC,BE=CE.
∴AE= AB.
∵S菱形ABCD=18 ,
∴AB AB=18
.
∴AB=6.
∴BE=EC=3.
∴CF=3.
如图3所示:
∵∠CAE=30°,∠BAC=60°,
∴∠BAE=90°.
又∵AB=6,∠B=60°,
∴BE=12.
∴CF=AC+CE=BC+CE=12.
综上所述,CF=3或CF=12.
所以答案是:3或12.
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