Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．连接BF、AC．

（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果DE²＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．
试题解析:（1）连接BD

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD
∴AC=BD
∵DE⊥BC，EF=DE
∴BD=BF，CD=CF
∴AC=BF，AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形；
（2）∵DE²=BE•CE
∴，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四边形ABFC是矩形．
考点: 1.等腰梯形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质；4.相似三角形的判定与性质．