观察下列等式：

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

2×4

=

1

2

(

1

2

-

1

4

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，…，猜想并写出：

1

n(n+2)

=______．

观察下列等式：

1

3×4

=

1

3

-

1

4

（1）根据发现的规律，写出第n个式子．
（2）利用规律计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2007×2008

+

1

2008×2009

=．

观察下列等式：
①1-

1

2

=

1

1×2

；
②

1

2

-

1

3

=

1

2×3

；
③

1

3

-

1

4

=

1

3×4

；
④

1

4

-

1

5

=

1

4×5

；
…
（1）猜想并写出第n个算式：______；
（2）请说明你写出的等式的正确性；
（3）把上述n个算式的两边分别相加，会得到下面的求和公式吗？请写出具体的推导过程．

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=______；
（4）我们规定：分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数．任意一个真分数都可以表示成不同的单位分数的和的形式，且有无数多种表示方法．根据上面得出的两个结论，请将真分数

2

3

表示成不同的单位分数的和的形式．（写出一种即可）

观察下列各等式，并解答问题：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…，以此类推，可得：
（1）

1

5×6

=___；
（2）

1

n(n+1)

=_____（n是正整数）
（3）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

．

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=．
（2）直接写出结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=．