Question

观察下列等式：
①1-

1

2

=

1

1×2

；
②

1

2

-

1

3

=

1

2×3

；
③

1

3

-

1

4

=

1

3×4

；
④

1

4

-

1

5

=

1

4×5

；
…
（1）猜想并写出第n个算式：

 

；
（2）请说明你写出的等式的正确性；
（3）把上述n个算式的两边分别相加，会得到下面的求和公式吗？请写出具体的推导过程．

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

；
（4）我们规定：分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数．任意一个真分数都可以表示成不同的单位分数的和的形式，且有无数多种表示方法．根据上面得出的两个结论，请将真分数

2

3

表示成不同的单位分数的和的形式．（写出一种即可）

Answer 1

分析：从数字上很容易的猜得第n个算式，已知题目中各式相加得到（3），第（4）按照第（3）个得到．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

；（3分）

（2）左边=

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=右边，
即

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

．（3分）

（3）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

（过程给（3分），结论填对得2分）

（4）

2

3

=

1

2

+

1

6

=

1

2

+

1

7

+

1

42

=

1

2

+

1

7

+

1

43

+

1

1806

，等等；（写出一个即可，3分）

点评：本题规律在于从公式到验证，每一步相加即能消去，便得到（3）．