Question

观察下列各等式，并解答问题：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…，以此类推，可得：
（1）

1

5×6

=___；
（2）

1

n(n+1)

=_____（n是正整数）
（3）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

．

Answer 1

分析：（1）分子为1，分母为相邻2个数的乘积的分数，应分解为分子为1，分母分别为相邻2个数的分数的差；
（2）结合（1）得到的规律进行计算即可；
（3）把每个分数进行分解，易得化简后只剩第一个分数与最后一个分数，计算即可．

解答：解：（1）由所给等式可得

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，
故答案为

1

5

-

1

6

；
（2）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
故答案为

1

n

-

1

n+1

；
（3）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．

点评：考查数字的规律性计算；用类比的方法得到所给类型分数的分解方法是解决本题的关键．