数列1，2+

1

2

，3+

1

2

+

1

4

，…，n+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

的前n项和为（　　）

数列1，2+

1

2

，3+

1

2

+

1

4

，…，n+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

的前n项和为（　　）

A．n+1-( 1 2 )n-1	B． 1 2 n2+ 3 2 n+ 1 2n-1 -3
C． 1 2 n2+ 3 2 n+ 1 2n-1 -2	D．n+ 1 2n-1 -1

给定数列1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14 +15+16，…，则这个数列的一个通项公式是

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*）a、c∈R，c≠0
（1）求证：a≠1时，{a_n-1}是等比数列，并求{a_n}通项公式．
（2）设a=

1

2

，c=

1

2

，b_n=n（1-a_n）（n∈N^*）求：数列{b_n}的前n项的和S_n．
（3）设a=

3

4

、c=-

1

4

、cn=

3+an

2-an

．记d_n=c_2n-c_2n-1，数列{d_n}的前n项和T_n．证明：Tn＜

5

3

（n∈N^*）．

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*）a、c∈R，c≠0
（1）求证：a≠1时，{a_n-1}是等比数列，并求{a_n}通项公式．
（2）设a=

1

2

，c=

1

2

，b_n=n（1-a_n）（n∈N^*）求：数列{b_n}的前n项的和S_n．
（3）设a=

3

4

、c=-

1

4

、cn=

3+an

2-an

．记d_n=c_2n-c_2n-1，数列{d_n}的前n项和T_n．证明：Tn＜

5

3

（n∈N^*）．

设数列a_n的首项a1=

1

2

，且an+1=

1 2 an，n是偶数 an+ 1 4 是奇数

，记bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3…
（1）求a₂•a₃
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）证明b₁+3b₂+5b₃+…+(2n-1)bn＜

3

2

．

等差数列{a}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，S5=a32．
（1）求通项a_n；
（2）令b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)，设T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，求实数M、m的取值范围；
（3）试构造一个函数g（x），使f(n)=a1g(1)+a2g(2)+…+ang(n)＜

1

3

(n∈N+)恒成立，且对任意的m∈(

1

4

，

1

3

)，均存在正整数N，使得当n＞N时，f（n）＞m．

已知数列O、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列{

1

bn

}为等差数列；
（Ⅱ）设T_n=S_2n-S_n，求证：当S=

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

20

时，T_n+1＞T_n；
（Ⅲ）求证：对任意的1•k+1+k²=3，k∈R^*，∴k=1都有1+

n

2

≤S2n≤

1

2

+n成立．

数列1+

1

2

 ， 2+

1

4

 ， 3+

1

8

 ， … ， n+

1

2n

 ， …的前n项和是．

数列1+

1

2

 ， 2+

1

4

 ， 3+

1

8

 ， … ， n+

1

2n

 ， …的前n项和是______．