Question

设数列a_n的首项a1=

1

2

，且an+1=

1 2 an，n是偶数 an+ 1 4 是奇数

，记bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3…
（1）求a₂•a₃
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）证明b₁+3b₂+5b₃+…+(2n-1)bn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）{b_n}是等比数列，利用bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3…，代入计算可可以证明；
（3）利用错位相减法求和，即可证得结论．

解答：（1）解：由题意，a₂=a₁+

1

4

=

3

4

，a₃=

1

2

a₂=

3

8

---------------------------------（4分）
（2）解：{b_n}是等比数列
证明如下：因为b_n+1=a_2n+1-

1

4

=

1

2

a_2n-

1

4

=

1

2

（a_2n-1-

1

4

）=

1

2

b_n，（n∈N^*）
所以{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

2

的等比数列
所以bn=(

1

2

)n+1-----（8分）
（3）证明：（2n-1）b_n=(2n-1)•(

1

2

)n+1
令S_n=b₁+3b₂+5b₃+…+(2n-1)•(

1

2

)n+1=

1

4

+3•(

1

2

)3+…+(2n-1)•(

1

2

)n+1①，则

1

2

S_n=(

1

2

)3+3•(

1

2

)4+…+（2n-3）•(

1

2

)n+1+(2n-1)•(

1

2

)n+2②
①-②可得

1

2

S_n=

1

4

+2•(

1

2

)3+2•(

1

2

)4+…+2•(

1

2

)n+1-(2n-1)•(

1

2

)n+2
∴S_n=

3

2

-(

1

2

)n-1-(2n-1)•(

1

2

)n+1，显然小于

3

2

---------（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．