若f（x）=x²-cosx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，设g（x）=|f（x）|-

1

2

，则函数g（x）的零点个数为（　　）

若f（x）=x²-cosx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，设g（x）=|f（x）|-

1

2

，则函数g（x）的零点个数为（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

已知函数f（x）=2x-π，g（x）=cosx．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），若x1，  x2∈[-

π

2

+kπ，  

π

2

+kπ]， k∈Z，试比较

h(x1)+h(x2)

2

与h(

x1+x2

2

)的大小关系；
（Ⅱ）若x1∈[

π

4

，  

3

4

π]且f（x_n+1）=g（x_n）．求证：|x1-

π

2

|+|x2-

π

2

|+…+|xn-

π

2

|＜

π

2

．

设 A、B、C是直线l上的三点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足关系：

OA

+(y-

3

sinxcosx)

OB

-(

1

2

+sin2x)

OC

=

0

．
（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(

1

2

x+

π

3

)，x∈[0，

7π

12

]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
（Ⅲ）令函数h（x）=

2

（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，

π

2

]，不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

设 A、B、C是直线l上的三点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足关系：

OA

+(y-

3

sinxcosx)

OB

-(

1

2

+sin2x)

OC

=

0

．
（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(

1

2

x+

π

3

)，x∈[0，

7π

12

]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
（Ⅲ）令函数h（x）=

2

（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，

π

2

]，不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

（2010•南宁二模）已知f（x）=sinx，g（x）=cosx，则有[f（x）]²+[g（x）]²=1，f（2x）=2f（x）g（x），类比上列，若设f（x）=

ex- e-x

2

，g（x）=

ex+ e-x

2

，则可得到f（x）与g（x）的一个关系式是．（只须写出一种即可）

（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=

f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N f(x)，当x∈M且x∉N g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=

1

x+1

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x²+2x+2，设b_n为曲线y=h（x）在点（a_n，h（a_n））处切线的斜率；而{a_n}是等差数列，公差为1（n∈N^*），点P₁为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点P_n的坐标为（a_n，b_n）．求证：

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．