题目内容

（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
分析：（1）由函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，可得M={x|x≠-1}，N=R．从而h(x)=
x2+2x+2
x+1
，x≠-1
1，x=-1
．由此能求出函数h（x）的取值集合．
（2）由h（x）=x2+2x+2，知h'（x）=2x+2，所以bn=g'（an）=2an+2，由点Pn（an，bn）在直线l上，且a1=-1，又{an}是等差数列，公差为1，知an=n-2，bn=2n-2故Pn（n-2，2n-2），由此能够证明
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
．（3）由函数y=f（x）的定义域为R，得g（x）=f（x+a）的定义域为R．所以，对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）
即对于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a），所以，令f(x)=
2
cos(
x
2
-
π
4
)，且α=π，即可．
解答：解：（1）由函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R可得M={x|x≠-1}，N=R
从而h(x)=
x2+2x+2
x+1
，x≠-1
1，x=-1

当x＞-1时，h(x)=
x2+2x+2
x+1
=
(x+1)2+1
x+1
=x+1+
1
x+1
≥2
当x＜-1时，h(x)=
x2+2x+2
x+1
=
(x+1)2+1
x+1
=-(-x-1+
1
-x-1
)≤-2
所以h（x）的取值集合为{y|y≤-2，或y≥2或y=1}…．（5分）
（2）易知h（x）=x2+2x+2，
所以h'（x）=2x+2所以bn=g'（an）=2an+2
显然点Pn（an，bn）在直线l上，且a1=-1，
又{an}是等差数列，公差为1
所以an=n-2，bn=2n-2故Pn（n-2，2n-2），又P1（-1，0）
所以|P1Pn|=
5
(n-1)(n≥2)
所以
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
=
1
5
[1+
1
22
+
1
32
+…+
1
(n-1)2
]＜
1
5
[1+
1
1•2
+
1
2•3
+…+
1
(n-2)(n-1)
]
=
1
5
[1+1-
1
n-1
]＜
2
5
…..（8分）
（3）由函数y=f（x）的定义域为R，
得g（x）=f（x+a）的定义域为R，
所以，对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）
即对于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a）
所以，我们考虑将cosx分解成两个函数的乘积，
而且这两个函数还可以通过平移相互转化
cosx=cos2
x
2
-sin2
x
2
=(cos
x
2
+sin
x
2
)(cos
x
2
-sin
x
2
)
=
2
cos(
x
2
-
π
4
)•
2
cos(
x
2
+
π
4
)
所以，令f(x)=
2
cos(
x
2
-
π
4
)，
且α=π，即可    …..（13分）
又cosx=1-2sin2
x
2
=(1+
2
sin
x
2
)(1-
2
sin
x
2
)
所以，令f(x)=1+
2
sin
x
2
，
且α=2π，即可（答案不唯一）
点评：本题数列与不等式的综合，结合三角函数的性质的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．
练习册系列答案
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3
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π
6
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1
1
．
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6
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2
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3π
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0.05
0.05
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55
55
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e1
=(1，0)，
e2
=(0，1)，
a
=2
e1
+
e2
，
b
=λ
e1
-
e2
，当
a
∥
b
时，实数λ等于（　　）

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