Question

设 A、B、C是直线l上的三点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足关系：

OA

+(y-

3

sinxcosx)

OB

-(

1

2

+sin2x)

OC

=

0

．
（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(

1

2

x+

π

3

)，x∈[0，

7π

12

]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
（Ⅲ）令函数h（x）=

2

（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，

π

2

]，不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）原向量式变形由A、B、C三点共线可得-y+

3

sinxcosx+

1

2

+sin2x=1，由三角函数的知识化简可得；（Ⅱ）可得函数g（x）的解析式，设交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，由对称性可得x2=

3π

2

，可得g（x₂）=cos

3π

2

=0，可得b值；（Ⅲ）只需要h（x）_max≤f（x）_min即可，分别求其最值可得关于a的不等式，解之可得．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得

OA

=(-y+

3

sinxcosx)

OB

+(

1

2

+sin2x)

OC

∵A、B、C三点共线，∴-y+

3

sinxcosx+

1

2

+sin2x=1----------------------------------------，（2分）
则y=

3

sinxcosx+sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)--------------------------------（4分）
（Ⅱ）可得函数g(x)=f(

1

2

x+

π

3

)=sin[2(

1

2

x+

π

3

)-

π

6

]=sin(x+

π

2

)=cosx，x∈[0，

7π

2

]-----（5分）
设函数g（x）的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，且0≤x1＜x2＜x3≤

7π

2

，
由已知，有x₁+x₃=2x₂，另一方面，结合图象的对称性有

x1+x2

2

=π，

x2+x3

2

=2π--------------------（7分）
∴x₁=2π-x₂，x₃=4π-x₂，代入x₁+x₃=2x₂，解得x2=

3π

2

------------（8分）
再代入g（x）=cosx，得g（x₂）=cos

3π

2

=0，所以b=0------------------（9分）
（Ⅲ）不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，只需要h（x）_max≤f（x）_min即可------------（10分）
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，则t²=1+2sinxcosx=1+sin2x，∴sin2x=t²-1
又t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，x∈[0，

π

2

]，则t∈[1，

2

]
函数h（x）转化为y=

2

t+t2-1-a=(t+

2

2

)2-a-

3

2

，t∈[1，

2

]，
当t=

2

时，函数取得最大值h（x）_max=3-a-----------------------------------（12分）
又f(x)=sin(2x-

π

6

)在x∈[0，

π

2

]上的最小值为f(x)min=-

1

2

------------------（13分）
由h（x）_max≤f（x）_min得3-a≤-

1

2

即a≥

7

2

，
故实数a的取值范围是[

7

2

，+∞)--------14分

点评：本题考查等差数列和向量知识的综合应用，涉及三角函数的图象，属中档题．