4.(2009·济宁模拟) 魏晋南北朝时期，我国经济发展的突出特点是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.寺院经济占主导地位　　　　　　　　　　　　　　 B.北方经济发展较快　

C.南北经济发展趋于平衡　　　　　　　　　　　　　 D.经济重心开始南移

答案　 C

3.北方劳动人民南迁对南方生产发展最直接的影响在于　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(　 )

①充实了江南劳动力　 ②带去了先进的生产技术　 ③导致南方人观念更新　 ④促进了民族之间的融合

A.①②　　　　　　　　 B.②③　　　　　　　　 C.①④　　　　　　　　 D.①③

答案　 A

2.(2007·江苏)东晋南朝时期，江南经济迅速发展，乃至有“江南之为国盛矣”的赞叹。该时期江南开发的主要因素不包括　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A.北方大量人口南迁　　　　　　　　　　　　　　　 B.民族融合进一步加强

C.统治者推行劝课农桑等政策　　　　　　　　　　　 D.农产品商品化程度高

答案　 D

1.下图中，东晋南朝经济开发成就最突出的地区是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.①　　　　　　　　　 B.②　　　　　　　　　 C.③　　　　　　　 　　 D.④

答案　 C

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是(　 ) (第十二届希望杯高二 第二试题)

(A)是偶函数，也是周期函数　　　　 (B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数　　　　 (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)　　　　　　　　

例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g^-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。

(A)　　 1999； (B)2000； (C)2001； (D)2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g^-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，

∴y = g^-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g^-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选(C)

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

f (x) = －x，则f (8.6 ) = _________　 (第八届希望杯高二 第一试题)

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是(　 )(92全国高考理)　 (A) x = －　　　　　　　 (B) x = －　　　 (C) x = 　　　　　 (D) x =

解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + 　= k+

∴x = －,显然取k = 1时的对称轴方程是x = －　 故选(A)

例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

f (x) = x，则f (7.5 ) = (　 )

　 (A)　 0.5　　 　　　 (B)　 －0.5　　　 　　　 (C) 1.5　 　　　 　　　 (D) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心；

　 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

　 ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)

注：①上表中k∈Z

②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

　　 设点P(x₀ ,y₀)是y = f (x)图像上任一点，则y₀ = f (x₀)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P^‘(x₁， y₁)，则x₁ = a + y₀ , y₁ = x₀－a ，∴x₀ = a + y₁ , y₀= x₁－a 代入y₀ = f (x₀)之中得x₁－a = f (a + y₁) ∴点P^‘(x₁， y₁)在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

　 　　　　f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P^‘(2a－x，2b－y)也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

(充分性)设点P(x₀,y₀)是y = f (x)图像上任一点，则y₀ = f (x₀)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x₀) + f (2a－x₀) =2b，即2b－y₀ = f (2a－x₀) 。

　故点P^‘(2a－x₀，2b－y₀)也在y = f (x) 图像上，而点P与点P^‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

　 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 　(证明留给读者)

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

　 　　　　　　　　 　②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………(*)

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入(*)得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………(**)，用2(a－b)－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入(**)得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

70．The underlined word “precautions” means ___________.

　　　 A．special medicines to some diseases

　　　 B．agreements signed by both sides

　　　 C．things done in advance to prevent problems

　　　 D．instructions on health problems by doctors

答案　 66.A　 67.C　 68.D　 69.B　 70.C

69．We can learn from the text that ___________.

　　　 A．Leanne is from Indonesia and knows very well about the coming trip

　　　 B．the students are able to attend some lessons during their trip

　　　 C．the students going on the trip will cost nothing

　　　 D．the speaker is likely to come from the government