5.(2009·岳阳模拟)若直线l经过点(a-2，-1)和(-a-2，1)且与经过点(-2，1)，斜率为-的直线垂直，则实数a的值为　　　 .

答案　 -

例1 已知直线l₁:ax+2y+6=0和直线l₂:x+(a-1)y+a²-1=0,

(1)试判断l₁与l₂是否平行；

(2)l₁⊥l₂时，求a的值.

解　 (1)方法一　 当a=1时，l₁:x+2y+6=0,

l₂:x=0,l₁不平行于l₂;

当a=0时，l₁:y=-3,

l₂:x-y-1=0,l₁不平行于l₂;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当a≠1且a≠0时，两直线可化为

l₁:y=--3,l₂:y=-(a+1),

l₁∥l_2，解得a=-1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

综上可知，a=-1时，l₁∥l₂，否则l₁与l₂不平行.　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

方法二　 由A₁B₂-A₂B₁=0，得a(a-1)-1×2=0，

由A₁C₂-A₂C₁≠0，得a(a²-1)-1×6≠0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

∴l₁∥l₂

a=-1,　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

故当a=-1时，l₁∥l₂，否则l₁与l₂不平行.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)方法一　 当a=1时，l₁:x+2y+6=0,l₂:x=0,

l₁与l₂不垂直，故a=1不成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当a≠1时，l₁:y=-x-3,

l₂:y=-(a+1),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由·=-1a=.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

方法二　 由A₁A₂+B₁B₂=0，得a+2(a-1)=0a=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2 求过两直线l₁:x+y+1=0,l₂:5x-y-1=0的交点，且与直线3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.　

解 设所求直线方程为x+y+1+(5x-y-1)=0,　

即(1+5)x+(1-)y+1-=0.　

因为所求直线与直线3x+2y+1=0的夹角为,　

所以tan=

解得=-.　

∴所求直线方程为x+5y+5=0.　

又直线l₂:5x-y-1=0与直线3x+2y+1=0的夹角满足tan=

∴=，故直线l₂也是符合条件的一解.　

综上所述，所求直线方程为　

x+5y+5=0或5x-y-1=0.　

例3 (12分)已知直线l过点P(3，1)且被两平行线l₁:x+y+1=0,l₂:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.

解　 方法一　 若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=3,此时与l₁,l₂的交点分别是

A(3，-4)，B(3，-9)，

截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

若直线l的斜率存在时，

则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,

分别与直线l₁,l₂的方程联立，

由,

解得A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

由,解得B,

由两点间的距离公式，得

+=25，

解得k=0,即所求直线方程为y=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 10分

综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 12分

方法二　 设直线l与l₁,l₂分别相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁+y₁+1=0,x₂+y₂+6=0,

两式相减，得(x₁-x₂)+(y₁-y₂)=5　　　　　　　　　　　 ①　　　　　　　　　　　　　　　 　　 6分

又(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=25　　　　　　　　　　　　　　　 ②

联立①②可得或,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 10分

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，

故所求的直线方程为x=3或y=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 12分

例4 求直线l₁:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l₂的方程.

解　 方法一　 由

知直线l₁与l的交点坐标为(-2，-1)，

∴设直线l₂的方程为y+1=k(x+2),

即kx-y+2k-1=0.

在直线l上任取一点(1，2)，

由题设知点(1，2)到直线l₁、l₂的距离相等，

由点到直线的距离公式得

=，

解得k=(k=2舍去)，

∴直线l₂的方程为x-2y=0.

方法二　 设所求直线上一点P(x,y),

则在直线l₁上必存在一点P₁(x₀,y₀)与点P关于直线l对称.

由题设：直线PP₁与直线l垂直，且线段PP₁的中点

P₂在直线l上.

∴，变形得,

代入直线l₁:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,

整理得x-2y=0.

所以所求直线方程为x-2y=0.

4.已知直线l₁：y=2x+3，直线l₂与l₁关于直线y=x对称，直线l₃⊥l₂，则l₃的斜率为　　 (　　 )　

?A.　　　　　　 ?B.-　　　　　　　 　　 C.-2?　　　　　　　　　　　 D.2　

答案?C?　

3.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y=1平行，则m的值为(　　 )　

?A.0　　 ?　　　　　　 B.-8　　　　　 ?　 C.2　　　　　　　　　　　　　 D.10　

答案?B?　

2.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为,那么m的值为　　　　　　　　 (　　 )　

A.-或-3　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.　

C.-或3　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.或-3　

答案?C?

1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于　　　　　　　 (　　 )　

A.-3　　　　　　　 B.-6　　　　　　　 C.-　　　　　　　　　　　 D.　

答案?B?　

12.过点P(3，0)作一直线，使它夹在两直线l₁：2x-y-2=0与l₂:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.

解　 方法一　 设点A(x，y)在l₁上，

由题意知，∴点B(6-x，-y)，

解方程组，

得，∴k=.

∴所求的直线方程为y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

方法二　 设所求的直线方程为y=k(x-3),

则,解得,

由,解得.

∵P(3,0)是线段AB的中点，

∴y_A+y_B=0，即+=0，

∴k²-8k=0，解得k=0或k=8.

又∵当k=0时，x_A=1,x_B=-3,

此时,∴k=0舍去，

∴所求的直线方程为y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

§7.2两直线的位置关系

11.已知两点A(-1，2)，B(m，3).

(1)求直线AB的方程；

(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角的取值范围.

解　 (1)当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,

当m≠-1时，直线AB的方程为y-2=(x+1).

(2)①当m=-1时，=;

②当m≠-1时，m+1∈，

∴k=∈(-∞，-］∪，

∴∈.

综合①②知，直线AB的倾斜角∈.

10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(-3，4)；(2)斜率为.

解　 (1)设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是--3，3k+4，

由已知，得(3k+4)(+3)=±6，

解得k₁=-或k₂=-.

直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,

由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.

∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.

9.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1，1)、(2，2)，若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.

解　 方法一　 直线x+my+m=0恒过A(0，-1)点.

k_AP==-2，k_AQ==，

则-≥或-≤-2，

∴-≤m≤且m≠0.

又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，

∴所求m的取值范围是-≤m≤.

方法二　 过P、Q两点的直线方程为

y-1=(x+1),即y=x+,

代入x+my+m=0,

整理，得x=-.

由已知-1≤-≤2,

解得-≤m≤.

8.已知两点A(-1，-5)，B(3，-2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是　　　　 .

答案