42.(2009湖北卷文)(本小题满分14分) 　　

　 已知关于x的函数f(x)＝+bx²+cx+bc,其导函数为f⁺(x).令g(x)＝∣f⁺(x) ∣,

记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.

　 (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：

　(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: 　　　

　 (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理

论证的能力和份额类讨论的思想(满分14分)

(I)解析　　 ，由在处有极值

可得

解得或

若，则，此时没有极值；

若，则

当变化时，，的变化情况如下表：

				1
		0	+	0
		极小值		极大值

当时，有极大值，故，即为所求。

(Ⅱ)证法1：

当时，函数的对称轴位于区间之外。

在上的最值在两端点处取得

故应是和中较大的一个

即

证法2(反证法)：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

在上的最值在两端点处取得。

故应是和中较大的一个

假设，则

将上述两式相加得：

，导致矛盾，

(Ⅲ)解法1：

(1)当时，由(Ⅱ)可知；

(2)当时，函数)的对称轴位于区间内， 　　

此时

由有

①若则，

于是

②若，则

于是

综上，对任意的、都有

而当时，在区间上的最大值

故对任意的、恒成立的的最大值为。

解法2：

(1)当时，由(Ⅱ)可知； 　　

(2)当时，函数的对称轴位于区间内，

此时

，即

下同解法1

41.(2009四川卷文)(本小题满分12分)

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。

(I)求函数的解析式；

(II)设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.

解析　　 (I)由已知,切点为(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

联立①②，解得.

所以函数的解析式为　　 …………………………………4分

(II)因为 　　　

令

当函数有极值时，则，方程有实数解，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由，得.

①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值

②当时，有两个实数根情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在时，函数有极值；

当时，有极大值；当时，有极小值；

　 …………………………………12分

40.(2009陕西卷理)(本小题满分12分)

已知函数，其中

若在x=1处取得极值，求a的值；　 　　

求的单调区间；

(Ⅲ)若的最小值为1，求a的取值范围。　　

解(Ⅰ)

∵在x=1处取得极值，∴解得

(Ⅱ)

∵　　 ∴

①当时，在区间∴的单调增区间为

②当时，

由

∴

(Ⅲ)当时，由(Ⅱ)①知，

当时，由(Ⅱ)②知，在处取得最小值

综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是

39.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)

已知函数

求的单调区间；

若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

　 解析　　 (1)

当时，对，有

当时，的单调增区间为

当时，由解得或；

由解得，

当时，的单调增区间为；的单调减区间为。

(2)因为在处取得极大值，

所以

所以

由解得。

由(1)中的单调性可知，在处取得极大值，

在处取得极小值。

因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，

结合的单调性可知，的取值范围是。

38.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)

已知函数

(1)如，求的单调区间；

(1)若在单调增加，在单调减少，证明

＜6. 　　　　

(21)解析　　

(Ⅰ)当时，，故 　　　

当

当

从而单调减少.

(Ⅱ)

由条件得：从而

因为所以

将右边展开，与左边比较系数得，故

又由此可得 　　　

于是　　　

37.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。

(1)讨论函数的单调性； 　　　　

(2)证明：若，则对任意x，x，xx，有。

解析　　 (1)的定义域为。

2分

(i)若即,则

故在单调增加。

(ii)若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

(II)考虑函数

则

由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分

36.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)

设，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行。

(2)求a的值，并讨论f(x)的单调性；

(1)证明：当 　　　　　　

解析　　 (Ⅰ).有条件知，

，故.　　　　　　　　　　　　 ………2分　　 于是.

故当时，＜0； 　　　　　

当时，＞0.

从而在，单调减少，在单调增加.　　　　 ………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在单调增加，故在的最大值为，

最小值为. 　　　　　　

从而对任意，，有.　　　　　　 ………10分

　 而当时，.

　 从而　　　 　　　　　　　　　　　　　　　………12分

35.(2009福建卷理)(本小题满分14分)

已知函数,且　　　　 　　　　　　　　　　　　　　

(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；

(2)令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(),　 ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

(I)若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

(II)若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)　　　　　　　　　　　　　　　　　

解法一:

(Ⅰ)依题意,得

由.

从而

令 　　　

①当a>1时,

当x变化时，与的变化情况如下表：

x
	+	－	+
	单调递增	单调递减	单调递增

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。

②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R

③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 　　　

综上：

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.

(Ⅱ)由得令得

由(1)得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M()N()。

观察的图象，有如下现象：

①当m从-1(不含-1)变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；

③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；

线段MP的斜率Kmp

当Kmp－=0时，解得

直线MP的方程为 　　　

令

当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。

当时，.

所以存在使得

即当MP与曲线有异于M,P的公共点　 　　

综上，t的最小值为2.

(2)类似(1)于中的观察，可得m的取值范围为

解法二：

(1)同解法一.

(2)由得，令，得

由(1)得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()

　(Ⅰ) 直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.

又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.

等价于　　　　 即

又因为,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的r的最小值为2.

333.(2009湖南卷文)(本小题满分13分)

已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.

(Ⅰ)求b的值；

(Ⅱ)若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。

解: (Ⅰ).因为函数的图象关于直线x=2对称，

所以，于是　　

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，.

(ⅰ)当c 　12时，，此时无极值。　　

(ii)当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.

当x＜时，， 在区间内为增函数；　　 　　　

当＜x＜时，，在区间内为减函数;

当时，，在区间内为增函数.　　

所以在处取极大值，在处取极小值.

因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.

于是的定义域为.由 得.

于是　　 .

当时，所以函数

在区间内是减函数，故的值域为　　　　　　 　　　

32.(2009全国卷Ⅱ理)(本小题满分12分)

设函数有两个极值点，且

(I)求的取值范围，并讨论的单调性；

(II)证明： 　　　　　　

解: (I)

　令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数；　 　　

⑵当时，在内为减函数；

⑶当时，在内为增函数；

(II)由(I)，

设，

则

⑴当时，在单调递增；

⑵当时，，在单调递减。　 　　

故．