286. 夹在两平行平面a 、b 间的线段AB=8，AB与a 所成的角为45°，那么a 、b 间的距离等于________．

解析：．如图答9-27，过A作AH⊥a ，交a 于H，AH为平面a 与b 间的距离．连结BH，则BH是AB在平面a 内的射影，∴　∠ABH=45°．∵　AB=8，∴　

285. 若a∥b，a⊥a ，b⊥b ，则a 、b 这两个平面的位置关系是________．

解析：^平行．

284. 下列命题中，不正确的是(　)．

　A．一直线和两个平面a 、b 所成的角相等，那么a ∥b

　B．平面a ∥平面b ，则a 内的任意直线平行于平面b

　C．一个三角形有两条边所在直线平行一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行

　D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

解析：A．直线与两平面所成的角相等，这两个平面可能相交，故A命题不正确．三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行，所以C命题正确，分别在两个平行平面内的两条直线一定没有公共点，它们的位置关系是平行或异面．

283. 平面a ∥平面b ，aa ，bb ，则a、b一定是(　)．

　A．两条平行直线　　　　B．异面直线

　C．相交直线　　　　　D．无公共点的两条直线

解析：D．a ∥b ，则平面a 与b 无公共点，a、b一定无公共点．

282. 判断下列命题是否正确，并说明理由．

　(1)若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

　(2)在一个平面内有三条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行；

　(3)若两个平面相交，那么分别在这两个平面内的两条直线也相交；

　(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也平行；

　(5)一条直线与两个平行平面所成的角相等；

　(6)一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么一定平行于另一个平面．

解析：(1)不正确．两个平面还可能相交于一条直线；

　　(2)不正确．两个平面可能相交，这三条直线均与交线平行；

　　(3)不正确．分别在两个相交平面内的两条直线也可能平行，它们都平行于交线；

　　(4)不正确．两条直线还可能异面；

　　(5)正确．无论直线与两个平面相对位置如何，直线与两个平面所成的角都相等；

　　(6)不正确．直线可能在另一个平面上．

281.　 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以AC为轴翻折半平面，使二平面角B-AC-D为120°，求：(1)翻折后，D到平面ABC的距离；(2)BD和AC所成的角.

解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.

解　 分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FB′∥BE，过B作BB′∥AC，交点B′，则四边形EFB′B是矩形.

∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠DF′B就是二面角B-AC-D的平面角，亦即∠DFB′＝120°.

过D作DO⊥B′F，垂足为O.∵DO平面DFB′，AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC.

在RtΔADC中，CD＝2，AD＝2，∴DF＝，OD＝DF·sin60°＝.

(2)在ΔDFB′中，DB′＝＝3.

又由(1)可知，AC∥BB′，AC⊥平面DFB′⊥平面DFB′.∴BB′⊥平面DFB′，∴ΔDB　　 B′是直角三角形，又BB′＝EF＝2.∴tan∠DBB′＝.

∵AC∥BB′,∴AC与BD所成的角就是∠DBB′，即为arctan.

说明　 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线DF、BE上两点B、D间的距离，先求出BD²＝EF²+DF²+BE²-2DF·BE·cos120°＝13，从而得出∠DBB′＝arccos.

279.　 在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝BB′＝1，直线B′C与平面ABC成30°的角.(如图所示)

(1)求点C′到平面AB′C的距离；(2)求二面角B－B′C-A的余弦值.

解析：(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，∴A′C′∥AC，AC平面AB′C，∴A′C′∥平面AB′C，于是C′到平面AB′C的距离等于点A′到平面AB′C的距离，作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′，∴A′M⊥平面AB′C，A′M的长是A′到平面AB′C的距离.

∵AB＝B′B＝1，⊥B′CB＝30°，∴B′C＝2，BC＝，AB′＝，A′M＝＝.即C′到平面AB′C的距离为；

(2)作AN⊥BC于N，则AN⊥平面B′BCC′，作NQ⊥B′C于Q，则AQ⊥B′C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1.∴sin∠AQN＝＝,cos∠AQN＝.

说明 　利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB＝BB′＝1，∴AB′＝，又∠B′CB＝30°，

∴BC＝,B′C＝2,AC＝.作AM⊥B′C于M，BN⊥B′C于N，则AM＝1，BN＝，

CN＝，CM＝1，∴MN＝.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C，∴BN与AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.设为θ.由AB²＝AM²+BN²+MN²-2AM×BN×cosθ得cosθ＝＝.

280　 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A-EB-D的平面角大小.

解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.

∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.

(2)EO∥PC，PC平面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.

作OF⊥BC于F，

∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.

由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a.

(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG　 ∵OE⊥AC，BD⊥AC　 ∴AC⊥平面BDE

∴AG⊥EB(三垂线定理)　 ∴∠AGO是二面角A-EB-D的平面角

∵OE＝PC＝a,OB＝a　　 ∴EB＝a.∴OG＝＝a　 又AO＝a.

∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan.

评析　 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

278.　 如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB，SB＝SC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.

解法一：由于SB＝BC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，

∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD，

又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD.

而SA∩SC＝S，所以BD⊥平面SAC.

∵DE＝平面SAC∩平面BDE，DC＝平面SAC∩平面BDC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.

设SA＝a,则AB＝a,BC＝SB＝a.

又AB⊥BC，所以AC＝a.在RtΔSAC中tg∠ACS＝＝，所以∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°，即所求的二面角等于60°.

解法二：由于SB＝BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E.∴SC⊥平面BDE，SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC；又E∈SC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于D∈AC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD⊥DE.

∵DE平面BDE，DC平面BDC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.

277.　 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A-BD-C、A-BC-D、B-AC-D的大小.

解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.

∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角

又AO＝OC＝1，AC＝，∴∠AOC＝90°.即二面角A-BD-C为直二面角.

(2)∵二面角A-BD-C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.

∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.

∵S_ΔOCB＝,S_ΔABC＝,∴cosθ＝.即二面角A-BC-D的大小是arccos.

(3)取AC的中点E，连BE、DE.∵AB＝BC，AD＝DC，

∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.

在ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝-

∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos.

评析　 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.

276. 在三棱锥S-ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求证：平面ASC⊥平面ABC.

证明　 取AC的中点O，连SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC＝AB＝a,SA＝SC＝a,又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S-AC-B的平面角.又∵SA＝AB＝a,SC＝BC＝a,AC＝AC,∴ΔACS≌ΔACB.

∴SO＝BO＝a.在ΔSOB中，∵SB＝a,∴∠SOB＝90°.

即平面SAC⊥平面ABC.

另证：过S作SO⊥平面ABC，垂足是O.∵SA＝SB＝SC，∴S在平面内的射影是ΔABC的外心，同前面的证明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜边AC上.又∵平面SAC经过SO，∴平面SAC⊥平面ABC

说明　 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.