575. 长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BC=b，AA₁=c，求异面直线BD₁和B₁C所成角的余弦值。

解析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD₁和B₁C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF-D₁C₁E₁F₁。具体作法是：延长A₁D₁，使A₁D₁=D₁F₁，延长B₁C₁至E₁，使B₁C₁=C₁E₁，连E₁F₁，分别过E₁、F₁，作E₁EC₁C，F₁FD₁D，连EF，则长方体C₁D₁F₁E-CDFE为所作长方体。

∵ BCD₁F₁

∴ BD₁CF₁

∴ ∠B₁CF₁就是异面直线BD₁与B₁C所成的角。

∵ BD²=a²+b²

∴ Rt△BDD₁中，BD₁²=BD²+DD₁²=a²+b²+c²

∴ CF₁²=BD₁²=a²+b²+c²

∵ B₁C²=b²+c²，B₁F₁²=a²+4b²

∴ △B₁CF₁中

　 cos∠B₁CF₁=

(1)　　　　　 当c>b时， cos∠B₁CF₁>0

　∴ ∠B₁CF₁为锐角，∠B₁CF₁就是异面直线BD₁和B₁C所成的角

(2)　　　　　 当c<b时，cos∠B₁CF₁<0

∴ ∠B₁CF₁是钝角

∴ π-∠B₁CF₁就是异面直线BD₁和B₁C所成的角

(3)　　　　　 当c=b时，∠B₁CF₁=90⁰

∴ BD₁⊥B₁C

法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。

如图，分别取BC、BB₁、B₁D₁的中点P、M、Q，连PM、MQ、PQ

则 MP∥B₁C，MQ∥BD₁

∴ ∠PMQ(或其补角)就是异面直线BD₁与B₁C所成的角

△　　　　　　　 PMQ中，MP=B₁C=

△　　　　　　　 MQBD₁=，PQ=

利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果

574. 空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？

解析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA与BC，AB与CD，AC与BD。

其次添加线段PM，则除去与PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BD。

因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。

最后注意到，PM与QN也是异面直线。

∴ 图中共有3+4+4+1=12(对)异面直线

573. 四棱锥V-ABCD底面是边长为4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，(1)求点V到CD的距离；(2)求点V到BD的距离；(3)作OF⊥VC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；(4)求异面直线BD与VC间的距离。

解析：用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD内作AE⊥CD，E为垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE为VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 线段VE长为点V到直线CD的距离

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD为正三角形

∴ E为CD中点，AE=

∴ VE=

　 (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂线定理VO⊥BD

∴ VO长度为V到直线BD距离

　 VO=

　 (3)只需证OF⊥BD

　　 ∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　 ∴ BD⊥平面VAC

　　 ∴ BD⊥OF

　　 ∴ OF为异面直线BD与VC的公垂线

　 (4)求出OF长度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·

572. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A₁A=A₁B=A₁C

∴ 点A₁在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD为A₁A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA₁

∴ BC⊥BB₁

∴ BB₁C₁C为矩形，S=BB₁×BC=156

取AB中点E，连A₁E

∵ A₁A=A₁B

∴ A₁E⊥AB

∴

∴

∴ S_侧=396

571. 正三棱锥的侧棱等于10cm，侧面积等于144cm²，求棱锥的底面边长和斜高。

解析：设底面边长为a，斜高为h’

则

∴ 或

570. 正四棱锥棱长均为a，(1)求侧面与底面所成角α；(2)若相邻两侧面所成角为β，求证：β=2α。

解析：如图，正四棱锥S-ABCD，SO、SF分别为高、斜高，∠SFO为二面角S-AB-O平面角，∠SFO=α，在△SBC中，作BE⊥SC，E为垂足，连DE

∵ △BCE≌△DCE

∴ DE⊥SC

∴∠BED为侧面B-SC-D平面角，∠BED=β

　 (1)

∴

∴

∴

　 (2)连EO

∵

∴

∵

∴ 由得：

∴ β=2α

569. 四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，A₁B=A₁D，求证：(1)对角面AA₁C₁C⊥截面A₁BD；(2)对角面D₁DBB₁是矩形

解析：(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC

设BD∩AC=0，又A₁B=A₁D，

∴ BD⊥A₁O

∵ A₁O∩AC=O

∴ BD⊥平面AA₁C₁C

∴ 平面A₁BD⊥对角面AA₁C₁C

(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由(1)，BD⊥平面AC₁

∴ BD⊥AA₁

又DD₁∥AA₁

∴ BD⊥DD₁

568. 正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B与对角面A₁B₁CD所成角为30⁰，求证：此四棱柱为正方体。

解析：∵ A₁B₁⊥平面B₁C

∴ 平面A₁B₁CD⊥平面BC₁，交线为B₁C

在平面B₁C内作BO⊥B₁C，O为垂足，连A₁O

则BO⊥平面A₁B₁CD

∴ ∠BA₁O为BA₁与平面A₁B₁CD所成的角

∴ ∠BA₁O=30⁰

设正四棱柱底面边长为a，高为h

则

∵　sin∠BA₁O=

∴

∴ a²+h²=2ah

∴ a=h

∴ 正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体

567. 一个正棱锥的一个侧面与底面所成角是θ，底面积Q，则它的侧面积是________。

解析： Qsecθ 　正棱锥的底面是侧面在底面上的射影，利用面积射影定理

566. 正六棱柱的高为5cm，最长对角线为13cm，它的侧面积是__________。

解析： 180cm² 　设正六棱柱底面边长为a，高为h，则h²+(2a)²=13²，h=5，∴a=6，∴侧面积=6ah=180