2.模型建构在教学中的实践

15．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.

(Ⅰ)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

(Ⅱ)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P(B)．

解：(Ⅰ)记A₀表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

A₁表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，

则A₀，A₁互斥，且A＝A₀+A₁，故

P(A)＝P(A₀+A₁)＝P(A₀)+P(A₁)

＝(1－p)²+Cp(1－p)＝1－p².

于是0.96＝1－p²，

解得p₁＝0.2，p₂＝－0.2(舍去)．

(Ⅱ)记B₀表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

则B＝.

若该批产品共100件，由(Ⅰ)知其中二等品有100×0.2＝20件，故P(B₀)＝＝，

P(B)＝P()＝1－P(B₀)＝1－＝.

14．某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运吉祥物”或“奥运会徽”，要求两人一组参加游戏，参加游戏的两人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽1张，抽后不放回，直到两人中的一人抽到“奥运会徽”卡得奖才终止游戏．

(1)游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘奥运会徽’卡？”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘奥运会徽’卡的概率为.”请你回答：有几张“奥运会徽”卡呢？

(2)现有甲、乙两人参加游戏，双方约定甲先抽取乙后抽取，求甲获奖的概率．

解：(1)设盒子中有“奥运会徽”卡n张，依题意，有1－＝.

解得n＝3，

即盒中有“奥运会徽”卡3张．

(2)由题意知，甲最多可能摸三次，

若甲第一次抽取就中奖，则P₁＝＝；

若甲第二次抽取才中奖，

则P₂＝··＝；

若甲第三次抽取才中奖，

则P₃＝····＝.

∴甲获奖的概率为

P＝P₁+P₂+P₃＝++＝.

13．(2009·海淀)3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响．求：

(1)这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作的概率；

(2)这3名志愿者在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．

解：(1)设“这3名志愿者在10月1日都参加社区服务工作”为事件A，则P(A)＝＝.

(2)设“这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作”为事件B，则

P(B)＝+＝+＝.

12．(2008·全国Ⅰ)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

解：记A₁、A₂分别表示依方案甲需化验1次、2次，

B表示依方案乙需化验3次，

A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数．

依题意知A₂与B独立，且＝A₁+A₂B.

P(A₁)＝＝，P(A₂)＝＝，

P(B)＝＝.

P()＝P(A₁+A₂·B)＝P(A₁)+P(A₂·B)

＝P(A₁)+P(A₂)·P(B)＝+×＝.

P(A)＝1－P()＝＝0.72.

11．(2008·湖北黄冈质检理)甲乙两人进行乒乓球单打决赛，采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军)，由于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则爆出冷门(乙获冠军)的概率为________．

答案：

解析：由题意得事件“乙获得冠军”包括三种互斥情形：“乙以3∶0胜甲获得冠军”、“乙以3∶1胜甲获得冠军”、“乙以3∶2胜甲获得冠军”，因此爆出冷门(乙获冠军)的概率为()³+C×()²××+C()²×()²×＝.

10．(2008·湖北黄冈质检文)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，－2)，则向量m与向量n垂直的概率是________．

答案：

解析：若向量m与n垂直，则a＝2b，且当b＝1时，a＝2；当b＝2时，a＝4；当b＝3时，a＝6.因此向量m与n垂直的概率等于＝.

9．(2009·江苏淮安三模)在一次招聘考试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．

答案：

解析：至少答对2道题的情况有C－CC＝7，所有的情况有C，则所求概率为.

8．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响．已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为(　)

A．0.3　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0.6

C．0.75　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0.9

答案：C

解析：设乙元件的使用寿命超过1年的概率为x，则两个元件中至少有一个使用寿命超过1年的概率为1－(1－0.6)(1－x)≥0.9，解之得x≥0.75，故选C.

7．(2008·郑州市二测)某种测试可以随时在网络上报名参加，某人通过这种测试的概率是，若他连续两次参加，则其中恰有一次通过的概率为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：C

解析：恰有一次通过包括两种情况，即第一次通过第二次没通过和第一次没通过第二次通过，它们是互斥的，前者概率为P₁＝×＝；后者概率为P₂＝×＝，所以所求事件的概率是P₁+P₂＝.故选C.