1.化简下列各式(其中各字母均为正数)：　

(1)　

(2)　

解 (1)原式=

(2)原式=-

=-

5.(2007·山东理，2)已知集合M={-1,1},N={x|<2^x+1<4,x∈Z},则M∩N等于　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.{-1,1}?　　　　　　　 B.{-1}?　　　　　　 C.{0}?　　　　　　　　 D.{-1,0}　

答案?B

?　

例1　 已知a=,b=9.求：　

(1)；

(2)　

解 (1)原式=aa=a

∵a=，∴原式=3.　

(2)方法一　 化去负指数后解.　

=a+b.　

∵a=，b=9，∴a+b=.　

方法二 利用运算性质解.　

=b+a.　

∵a=，b=9，∴a+b=.

例2　 函数f(x)=x²-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b^x)与f(c^x)的大小关系是　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.f(b^x)≤f(c^x)?　　　 　　　　　　　　　　　B.f(b^x)≥f(c^x)

?C.f(b^x)>f(c^x)?　　　　　　　　　　　　　　　 D.大小关系随x的不同而不同　

答案?A?　

例3　 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：　

(1)f(x)=;　

(2)g(x)=-()^x+4()^x+5.　

解 (1)依题意x²-5x+4≥0,　

解得x≥4或x≤1,　

∴f(x)的定义域是(-∞，1］∪［4，+∞).　

令u=

∵x∈(-∞，1］∪［4，+∞)，　

∴u≥0，即≥0，　

而f(x)=3≥3⁰=1,　

∴函数f(x)的值域是［1，+∞).　

∵u=，　

∴当x∈(-∞，1］时，u是减函数，　

当x∈［4，+∞)时，u是增函数.　

而3>1,∴由复合函数的单调性可知，　

f(x)=在(-∞，1］上是减函数，　

在［4，+∞)上是增函数.　

故f(x)的增区间是［4，+∞)，减区间是(-∞，1］.　

(2)由g(x)=-()^x+4()^x+5　

=-()^2x+4()^x+5,　

∴函数的定义域为R，令t=()^x (t>0),　

∴g(t)=-t²+4t+5=-(t-2)²+9,　

∵t>0,∴g(t)=-(t-2)²+9≤9,　

等号成立条件是t=2,　

即g(x)≤9,等号成立条件是()^x=2，即x=-1，　

∴g(x)的值域是(-∞，9］.　

由g(t)=-(t-2)²+9 (t>0),而t=()^x是减函数，　

∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，　

求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.　

∵g(t)在(0，2］上递增，在［2，+∞)上递减，　

由0<t=()^x≤2,可得x≥-1,　

由t=()^x≥2,可得x≤-1.　

∴g(x)在［-1，+∞)上递减，在(-∞，-1］上递增，　

故g(x)的单调递增区间是(-∞，-1］，　

单调递减区间是［-1，+∞).　

例4 (12分)设a>0,f(x)=是R上的偶函数.　

(1)求a的值；　

(2)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数.　

(1)解 　∵f(x)是R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分　

∴　

∴(a-)(e^x-)=0对一切x均成立，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分　

∴a-=0，而a＞0,∴a=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分　

(2)证明　 在(0，+∞)上任取x₁、x₂，且x₁<x₂,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分　

则f(x₁)-f(x₂)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 8分

∵x₁＜x₂,∴,有＞0.　

∵x₁＞0,x₂＞0,∴x₁+x₂＞0,∴＞1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分　

-1<0.∴f(x₁)-f(x₂)<0,　

即f(x₁)＜f(x₂),　

故f(x)在(0,+∞)上是增函数.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分　

4.关于函数f(x)=2^x-2^-x(x∈R)，有下列三个结论：　

①f(x)的值域为R；　

②f(x)是R上的增函数；　

③对任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立.　

其中全部正确的结论是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

A.①②③　　　　　　　　 B.①③　　　　 　　　　C.①②　　　　　　 ?D.②③　

答案?A?　

3.函数f(x)=a^x-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.a＞1,b＜0

?B.a＞1,b＞0　

?C.0＜a＜1,b＞0　

?D.0＜a＜1,b＜0　

答案?D?　

2.设指数函数f(x)=a^x (a>0且a≠1)，则下列等式不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )　

?A.f(x+y)=f(x)·f(y)　

?B.f((xy)ⁿ)=f ⁿ(x)·f ⁿ(y)　

?C.f(x-y)=,　

?D.f(nx)=f ⁿ(x)　

答案?B?　

1.已知a<,则化简的结果是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　(　　 )

　 A.　　　　　　　　　　　　　　 B.-　　　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　 D.-

　 　答案　 C

12.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.

(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；　

(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.　

解 (1)由　

从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)=0,而f(7)≠0,故f(-3)≠0.　

故函数y=f(x)是非奇非偶函数.　

(2)由(1)知y=f(x)的周期为10.又f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,　

故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有400个解，所以函数y=f(x)在［-2 005，2 005］上有802个解.

§2.4 指数与指数函数

基础自测

11.已知函数f(x)=x²+|x-a|+1,a∈R.　

(1)试判断f(x)的奇偶性；　

(2)若-≤a≤，求f(x)的最小值.

解 　(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)²+|-x|+1=f(x),　

此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a²+1,f(-a)=a²+2|a|+1,　

f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.　

(2)当x≤a时,f(x)=x²-x+a+1=(x-)²+a+,　

∵a≤,故函数f(x)在(-∞，a］上单调递减，　

从而函数f(x)在(-∞，a］上的最小值为f(a)=a²+1.　

当x≥a时，函数f(x)=x²+x-a+1=(x+)²-a+,　

∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞)上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的最小值为f(a)=a²+1.　

综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a²+1.　

10.已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.　

解　 ∵f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.　

当x>0时，-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x)，　

即f(x)=-xlg(2+x)(x>0).∴f(x)=

即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).

9.(2009·菏泽模拟)函数f(x)定义在R上且f(x+3)=f(x),当≤x≤3时，f(x)=log₂(ax²-2x+2).若f(35)=1,求实数a的值.

解　 由题意知f(x)的周期为3，　

∴f(35)=f(3×11+2)=f(2)　

=log₂(a·2²-4+2)=1，所以a=1.