1．掌握机械能守恒定律，知道它的含义和适用条件，并能判断物体机械能守恒的条件。．

7.72　 机械能守恒定律的应用

(第二课时)

Ⅰ　 学习目标

10． (2006浙江)已知函数f(x)=x+ x，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过(0，0)和(x,f (x))两点的直线平行(如图)．

求证：当n时，

　(Ⅰ)x

(Ⅱ)

证明：(I)因为

所以曲线在处的切线斜率

因为过和两点的直线斜率是

所以．

(II)因为函数当时单调递增，

而，

所以，即

因此

又因为令则

因为所以

因此故

[探索题] 已知函数f(x)=f(x)的导函数是　 对任意两个不相等的正数，证明：当时，　

证法一：由，得

∴

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立

即证成立

∵

设，则

令得，列表如下：

		极小值

　　　 ∴

∴对任意两个不相等的正数，恒有

证法二：由，得

∴

∵是两个不相等的正数

∴

设，

则，列表：

		极小值

∴　 即

∴

即对任意两个不相等的正数，恒有

9．(2006重庆)已知函数f(x)=(x²+bx+c)e^x，其中b,c∈R为常数。

(Ⅰ)若b²>4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若，且，试证：。

解(I)求导得f^/(x)=[x²+(b+2)x+b+e]e^x

∵b²>4(c-1)故方程f^/(x)=0 即 x²+(b+2)x+b+e=0有两个实根

令f^/(x)>0,解得x<x₁,或x>x₂．

又令f^/(x)<0,解得x₁<x<x₂．

故当x∈(－∞,x₁)时，f(x)是增函数，x∈(x₂,+∞)时，f(x)也是函数，当x∈(x₁,x₂)时，f(x)是减函数。

　(II)易知

∴

∴由已知条件得

解得

8．(2006江西)已知函数在与时都取得极值．

(1)求、的值及函数f(x)的单调区间;

(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c²恒成立,求c的取值范围．

解:

f^/(x)=3x²－x－2=(3x－2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表：

f/(x)
f(x)		极大值		极小值

所以函数f(x)的递增区间为与;

递减区间为．

7．　 已知x∈R,求证：e^x≥x+1．

证明:设f(x)=e^x－x－1,则f′(x)=e^x－1．

∴当x=0时，f′(x)=0,f(x)=0．

当x＞0时，f′(x)＞0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数．∴f(x)＞f(0)=0．

当x＜0时，f′(x)＜0,f(x)在(－∞,0)上是减函数，∴f(x)＞f(0)=0．

∴对x∈R都有f(x)≥0．∴e^x≥x+1．

5． ;　　 6．设底面边长为x，则高为h=，

∴S_表=3×x+2×x²=+x²

∴S′=－+x令S′=0，得x=．答案：

[解答题]

4．，

3．由f(－x)=f(x)，求导得．

2．(x)=4x(x²－3x+5)在［1，2］上，(x)>0，

∴f(x)在［1，2］上单调递增．∴f(x)≥f(1)=7．

∴f(x)=0在［1，2］上无根．答案：D