3、功和能：

⑴能的最基本性质：能就是指能量，如果物体能够做功，就说这个物体。如水流的机械能，带动水轮机发电，这是机械能转化为电能；电动机能电后，把电能转变成机械能；大力发电是把热能转化成电能，电热取暖则又是把电能转化成热能；这些现象都告诉了我们各种不同形式的能是可以互相转化的，而且在转化过程中，能的总量是守恒的。这就是能的最基本性质。

⑵功和能的关系：功是能量转化的量度

①做功的过程就是能的转化过程，能的转化是通过做功来实现的。

②做多少功就有多少能量发生转化(用功的数值来量度能量转化的多少)

2、功率：

⑴功率的概念：功率是表示物体(施力物)做功快慢的物理量，表示了单位时间内，施力物做功的多少。是用功与完成这些功所用时间的比值表示。

⑵功率的公式：

　　 该式表示了在某一段时间t内物体做功的平均功率。当力的方向和位移的方向一致时，上式中的W=Fs，则：

重力的功率可表示为P_G=mgv_y，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。

⑶功率的单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特。

1瓦特=1焦耳/秒，符号：1W=1J/s

除了“瓦”这个单位以外，技术上常用“千瓦”(KW)做功率的单位。

⑷公式P=Fv 中三个物理量的相依关系：

当力F与物体运动方向相同时，P=Fv，在功率一定的情况下，力越大，速度就越小，如汽车从平地开始上坡时，在保持发动机功率不变的条件下，需换档降低速度以增大牵引力。在力大小不变时，功率越大，速度越大，如在竖直方向上匀速吊起重物，起重机输出功率越大，起吊速度就越大。保持速度不变时，功率越大，力越大，如汽车从平路转入上坡时，要保持速度不变，就需要加大油门增大牵引功率以增大牵引力。

⑸注意区别P=、P=Fvcosα、P=Fv三个公式的适用范围：

对P=，P是时间t内的平均功率；对P=Fvcosα，若v是瞬时速度，P是瞬时功率，若v是平 均速度，P是平均功率；对P=Fv，F与v必须同方向，功率P与速度对应，即瞬时速度对应瞬时 功率，平均速度对应平均功率。

⑹额定功率：任何一个动力机器，它的功率都是有一定的限制的，这就是该机器的额定功率，额定功率都要在铭牌上标明，机器工作时受额定功率的限制。而机器功率的发挥是可以人为控制的。如汽车可通过控制给油的多少(油门)，确定功率的大小。但功率不管如何改变，功率的最大值是额定功率。

⑺关于机车的两种起动方式：⑷汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P=Fv和F-f = ma

①以额定功率起动：由公式P=Fv和F-f=ma知a= ，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算(因为F为变力)。

②以加速度a匀加速起动：由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率P_m，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fžs计算，不能用W=Pžt计算(因为P为变功率)。例题：解析：

　　 要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。

例题：如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有

A.　 B.　 C.　 D.

解：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D

⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B

⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D

　　 在第三种情况下，由=，可以得到，可见在摆角为时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。

例题：质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？　

解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即P_m=fžv_m，而速度为v时的牵引力F=P_m/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s²

基本概念	定义	物理意义	表示
功	力与力方向上位移的乘积	力对空间(位移)的积效果	W=F·s cosα
功率	功与做功对应时间的比值	做功的快慢	P==F·v·
动能	由于运动具有的能	反映物体处于某运动的快慢时所具有能的多少	Ek=mv2
重力势能	地球上物体具有的与高度有关的能	反映物体处于某相对高度时具有能的多少	EB=mgh
弹性势能	由于发生弹性形变具有的能	反映弹性形变物体储藏的势能及对外做功的能力大小	EB= kx2
机械能	动能和势能(重力势能和弹性势能)统称机械能	反映机械运动中对外做功能力的大小	E机＝Ek+Ep

基本规律	内容	适用条件	表示
动能定理	外力对物体所做总功等于物体的能的变化量	不管恒力、变力做功；不管直线、曲线运动都适用	W总=Ek2-Ek1 =mv22- mv21
机械能守恒定律	只有重力做功，物体机械能守恒	只有重力做功才适用	E初=E末
能的转化和守恒定律	能量既不能凭空产生，也不能无影无踪的消失，不同形式的能量在相互转化中守恒	整个自然界，整个宇宙普遍适用	E=C(常数)或 △E=0

1、功：

⑴功的概念：一个物体在力的作用下，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功。这里特别强调：力和在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素。

⑵功的公式：力对物体所做的功(W)、等于力的大小(F)、位移的大小(s)、力的方向和位移方向间的夹角的余弦三者的乘积。

⑶功是标量：功是由力的大小和位移的大小确定的，它没有方向，是个标量，

⑷功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号J。1J就1N的力使物体在力的方向上发生1m位移所做的功。

　　 (请注意千万不要把力矩的单位与功的单位相混淆)

⑸功的正负：当时F做正功，当时F不做功，当时F做负功。

⑹什么叫克服阻力做功：

a.　　　 力对物体做负功时，通常也可说成是物体克服阻力做功。如刹车时摩擦力对汽车做负功，意味着汽车克服摩擦力做功；重力对竖直上抛物体做负功，意味着物体克服重力做功，计算物体克服某个力所做的功时，其值要取绝对值。

b.　　　 另一种是外力克服阻力做功。如我们把一个质量为m的物体匀速举高时。我们必须用一个与物体所受到力G=mg大小相等、方向相反的外力，克服重力做功，物体被举高为h时，外力克服重力所做的功为W=mgh。

⑺一对作用力和反作用力做功的特点：

①一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。

②一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零(静摩擦力)、可能为负(滑动摩擦力)，但不可能为正。

⑻关于摩擦力或介质阻力做功的特点：摩擦力做功的大小是摩擦力与所作用的物体 在力的方向上通过的路程，而非位移。

⑼在两个接触面上因相对滑动而产生的热量：Q=f_滑s_相对，其中f_滑为滑动摩擦力，s_相对为接触物的相对位移。

2、由动量定理可知I_合＝ΔP，而I_合＝mgt，竖起上抛过程t₂为最大，而mg均相同。所以ΔI₂为最大。正确答案为B

　[小结] 对于动量变化问题，一般要注意两点：

　(1)动量是矢量，用初、末状态的动量之差求动量变化，一定要注意用矢量的运算法则，即平行四边形法则。

　(2) 由于矢量的减法较为复杂，如本题解答中的第一种解法，因此对于初、末状态动量不在一条直线上的情况，通常采用动量定理，利用合外力的冲量计算动量变化。如本题解答中的第二种解法，但要注意，利用动量定理求动量变化时，要求合外力一定为恒力。

例题： 向空中发射一物体．不计空气阻力，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a,b两块．若质量较大的a块的速度方向仍沿原来的方向则 [ ]

　A．b的速度方向一定与原速度方向相反

　B．从炸裂到落地这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大

　C．a，b一定同时到达地面

　D．炸裂的过程中，a、b中受到的爆炸力的冲量大小一定相等　

　解析： 物体炸裂过程发生在物体沿水平方向运动时，由于物体沿水平方向不受外力，所以沿水平方向动量守恒，根据动量守恒定律有：(m_A+m_B)v = m_Av_A+m_Bv_B

　当v_A与原来速度v同向时,v_B可能与v_A反向，也可能与v_A同向,第二种情况是由于v_A的大小没有确定，题目只讲的质量较大，但若v_A很小，则m_Av_A还可能小于原动量(m_A+m_B)v。这时,v_B的方向会与v_A方向一致，即与原来方向相同所以A不对。

a，　 b两块在水平飞行的同时，竖直方向做自由落体运动即做平抛运运动，落地时间由决定。因为h相等，所以勤务地时间一定相等，所以选项C是正确的

　由于水平飞行距离x = v·t，a、b两块炸裂后的速度v_A、v_B不一定相等，而落地时间t又相等，所以水平飞行距离无法比较大小，所以B不对。

　根据牛顿第三定律，a，b所受爆炸力F_A=－F_B，力的作用时间相等，所以冲量I=F·t的大小一定相等。所以D是正确的。

　此题的正确答案是：C，D。

6． 功和能的关系

做功的过程是物体能量的转化过程，做了多少功，就有多少能量发生了变化，功是能量转化的量度．
动能定理	合外力对物体做的功等于物体动能的增量．即
重力做功与重力势能增量的关系	重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加．重力对物体所做的功等于物体重力势能增量的负值．即WG=EP1-EP2= -ΔEP
弹力做功与弹性势能增量的关系	弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．弹力对物体所做的功等于物体弹性势能增量的负值．即W弹力=EP1-EP2= -ΔEP
功能原理	除重力和弹簧的弹力外，其他力对物体做的功等于物体机械能的增量．即 WF=E2-E1=ΔE
机械能守恒定律	在只有重力和弹簧的弹力做功的物体系内，动能和势能可以互相转化，但机械能的总量保持不变．即　 EK2+EP2 = EK1+EP1， 或　 ΔEK = -ΔEP
静摩擦力做功的 特点	(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功； (2)在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的互相转移，而没有机械能与其他形式的能的转化，静摩擦力只起着传递机械能的作用； (3)相互摩擦的系统内，一对静摩擦力对系统所做功的和总是等于零．
滑动摩擦力做功的特点	(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功； (2)相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力对系统所做功的和总表现为负功，其大小为　 W= -fS相对　 (S相对为相互摩擦的物体间的相对位移；若相对运动有往复性，则S相对为相对运动的路程．) (3)在滑动摩擦力对系统做功的过程中，系统的机械能转化为其他形式的能，其大小为　 Q= fS相对
一对作用力与反作用力做功的特点	(1)作用力做正功时，反作用力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；作用力做负功、不做功时，反作用力亦同样如此． (2)一对作用力与反作用力对系统所做功的总和可以是正功,也可以是负功,还可以零．

例题： 质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m的小球以速度v₁向物块运动。不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v。解析：

解析：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。

在小球上升过程中，由水平方向系统动量守恒得：

由系统机械能守恒得：　　　 解得

全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得

　　 本题和上面分析的弹性碰撞基本相同，唯一的不同点仅在于重力势能代替了弹性势能。

例题：动量分别为5kgžm/s和6kgžm/s的小球A、B沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A追上B并发生碰撞后。若已知碰撞后A的动量减小了2kgžm/s，而方向不变，那么A、B质量之比的可能范围是什么？

解析：A能追上B，说明碰前v_A>v_B,∴；碰后A的速度不大于B的速度， ；又因为碰撞过程系统动能不会增加， ，由以上不等式组解得：

此类碰撞问题要考虑三个因素：①碰撞中系统动量守恒；②碰撞过程中系统动能不增加；③碰前、碰后两个物体的位置关系(不穿越)和速度大小应保证其顺序合理。

例题：设质量为m的子弹以初速度v₀射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：　

从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s₁、s₂，如图所示，显然有s₁-s₂=d

对子弹用动能定理：　　　　　　　 ……①

对木块用动能定理：　　　　　　　　　 ……②

①、②相减得： ……③

这个式子的物理意义是：fžd恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)，等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积(由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移)。

由上式不难求得平均阻力的大小：

至于木块前进的距离s₂，可以由以上②、③相比得出：

从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：

　　 一般情况下，所以s₂<<d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：…④

　　 当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔE_K= f žd(这里的d为木块的厚度)，但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔE_K的大小。

　　 做这类题目时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据。

　 　以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如果发生相互作用前系统就具有一定的动量，那就不能再用m₁v₁=m₂v₂这种形式列方程，而要利用(m₁+m₂)v₀= m₁v₁+ m₂v₂列式。

例题：在距地面高为h，同时以相等初速V₀分别平抛，竖直上抛，竖直下抛一质量相等的物体m，当它们从抛出到落地时，比较它们的动量的增量△P，有[ ]

　A．平抛过程较大 　　B．竖直上抛过程较大

　C．竖直下抛过程较大 　D．三者一样大的。

　解析：1．由动量变化图中可知，△P₂最大，即竖直上抛过程动量增量最大，所以应选B。

5.相互作用中的动量与能量，三类碰撞中能量的变化：

(1)完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能损失最大

(2)完全弹性碰撞：动量守恒，机械能也守恒。

设两物体发生完全弹性碰撞，其中m₁以v₁匀速运动，m₂静止。

据

可得

讨论：(a)当m₁＞m₂时，v₁′与v₁方向一致；

(b)当m₁=m₂时，v₁′=0,v₂′=v₁，即m₁与m₂交换速度

(c)当m₁＜m₂时，v₁′反向，v₂′与v₁同向。

(3)非完全弹性碰撞：为一般情况，只有动量守恒，机械能有损失，损失量不最大，亦不最小。

4．动能定理与能量守恒定律关系--理解“摩擦生热”(Q=f·Δs)

设质量为m₂的板在光滑水平面上以速度υ₂运动，质量为m₁的物块以速度υ₁在板上同向运动，且υ₁＞υ₂，它们之间相互作用的滑动摩擦力大小为f，经过一段时间，物块的位移为s₁，板的位移s₂，此时两物体的速度变为υ′₁和υ′₂由动能定理得：

　-fs₁=m₁υ₁′²/2－m₁υ₁²/2　　 　①

　fs₂=m₂υ₂′²/2－m₂υ₂²/2　　　　　 　②

在这个过程中，通过滑动摩擦力做功，机械能不断转化为内能，即不断“生热”，由能量守恒定律及①②式可得：

Q=(m₁υ₁²/2+m₂υ₂²/2)－(m₁υ₁′²/2－m₂υ₂′²/2)=f(s₁－s₂)= f·Δs　　　　　 ③

由此可见，在两物体相互摩擦的过程中，损失的机械能(“生热”)等于摩擦力与相对位移的乘积。

特别要指出，在用Q= f·Δs　计算摩擦生热时，正确理解是关键。这里分两种情况：

(1)若一个物体相对于另一个物体作单向运动，Δs为相对位移；

(2)若一个物体相对于另一个物体作往返运动，Δs为相对路程。

3．动量守恒定律与动量定理的关系

动量守恒定律的数学表达式为：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁^′+m₂v₂^′，可由动量定理推导得出．

如图所示，分别以m₁和m₂为研究对象，根据动量定理：

F₁Δt= m₁v₁^′- m₁v₁　　　　 ①

F₂Δt= m₂v₂^′- m₂v₂　　　 ②

F₁=-F₂　　　　　　　　 ③

∴　 m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁^′+m₂v₂^′

可见，动量守恒定律数学表达式是动量定理的综合解．动量定理可以解决动量守恒问题，只是较麻烦一些．因此，不能将这两个物理规律孤立起来．

2．两个“定律”

(1)动量守恒定律：适用条件--系统不受外力或所受外力之和为零

公式：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂ ′或 　p=p ′

(2)机械能守恒定律：适用条件--只有重力(或弹簧的弹力)做功

公式：E_k2+E_p2=E_k1+E_p1　 或 ΔE_p= －ΔE_k

1．两个“定理”

(1)动量定理：F·t=Δp　 矢量式　 (力F在时间t上积累，影响物体的动量p)

(2)动能定理：F·s=ΔE_k 　标量式 (力F在空间s上积累，影响物体的动能E_k)

动量定理与动能定理一样，都是以单个物体为研究对象．但所描述的物理内容差别极大．动量定理数学表达式：F_合·t=Δp，是描述力的时间积累作用效果--使动量变化；该式是矢量式，即在冲量方向上产生动量的变化．

例如，质量为m的小球以速度v₀与竖直方向成θ角打在光滑的水平面上，与水平面的接触时间为Δt，弹起时速度大小仍为v₀且与竖直方向仍成θ角，如图所示．则在Δt内：

以小球为研究对象，其受力情况如图所示．可见小球所受冲量是在竖直方向上，因此，小球的动量变化只能在竖直方向上．有如下的方程：

F′_击·Δt-mgΔt=mv₀cosθ-(-mv₀cosθ)

小球水平方向上无冲量作用，从图中可见小球水平方向动量不变．

综上所述，在应用动量定理时一定要特别注意其矢量性．应用动能定理时就无需作这方面考虑了．Δt内应用动能定理列方程：W_合=mυ₀²/2－mυ₀²　/2　=0