2．下列命题中正确的是　　 (　 )

1．函数f(x)在x₀处连续是f(x)在点x₀处有极限的　 (　 )

A充分不必要条件　　 B必要不充分条件

C充要条件　　　　　 D既不充分也不必要条件

4．函数f(x)在点x₀处连续必须具备以下三个条件:

函数f(x)在点x=x₀处有定义;

函数f(x)在点x=x₀处有极限;

函数f(x)在点x=x₀处的极限值等于在这一点x₀处的函数值,即f(x)=f(x₀)．

同步练习　　 11．2 函数极限与连续性

[选择题]

3．求函数的极限的几种基本的方法:

①代入法；②约去分母为零的因式；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法

2．两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在．．

1．有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数极限的和(或积),在求几个函数的和(或积)的极限时，一般要化简，再求极限；

[例1]求下列各极限：

(1)

(2)(－x)；

　(3) ．(a＞0)

解:(1)

(2)原式==a+b

(3) 原式=

　=

==

=

提炼方法：1．对于题(1)“”要先除以x的最高次方;题(2)“∞-∞”要先有理化,然后再求极限;

2．在题(3)中,当b<0时,f(x)=在x=0处连续,极限值就等于f(0)．当b>0时, f (x)在x₀处不连续，x→0时,分母为零,要先有理化,去掉掉分母为零的式子,再求极限．

[例2](1)设f(x)=试确定b的值,使存在．

(2)f (x)为多项式,且=1,=5,求f(x)的表达式

解:(1) f (x)= 　(2x+b)=b,

f(x)= 　(1+2^x)=2,

当且仅当b=2时, f (x)= f (x),

故b=2时,原极限存在

(2)由于f(x)是多项式,且=1,

∴可设f (x)=4x³+x²+ax+b(a、b为待定系数)

又∵=5,

即(4x²+x+a+)=5,

∴a=5,b=0, 即f (x)=4x³+x²+5x

点评:(1)理解极限的定义和极限存在的条件;

(2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值．

[例3]已知函数f (x)=，试求:

(1)f (x)的定义域，并画出图象；

(2)求f (x)、f (x),并指出f (x)是否存在．

解:(1)当|x|＞2时，

==－1;

当|x|＜2时，==1;

当x=2时，=0;

当x=－2时，不存在．

∴f (x)=

∴f (x)的定义域为{x|x＜－2或x=2或x＞2}．

如下图:

(2)∵f (x)=－1,f (x)=1．∴f (x)不存在．

[例4]讨论函数的连续性,并作出函数的图象．

分析:应先求出f (x)的解析式，再判断连续性．

解:当0≤x＜1时，f (x)= x=x;

当x＞1时，f (x)= ·x=·x=－x;

当x=1时，f (x)=0．

∴f (x)=

∵f(x)=(－x)=－1,f(x)= x=1,

∴f(x)不存在．

∴f (x)在x=1处不连续，f (x)在定义域内的其余点都连续．

图象如下图所示．

提炼方法: 分段函数讨论连续性，要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性．

[研讨．欣赏]设f(x)在(a,b)内连续,如果为(a,b)内的任意n个点．求证:在[x₁,x_n]上至少存在一点x₀,使得

证明:由连续函数的性质,f(x)在闭区间[x₁,x_n]上必有最大值M,和最小值m,从而

m≤f(x_i)≤M,(i=1,2,……n)．

∴,从而必有x₀,使

．

6． f (0)=f (x)= = =

4． ;　 5． ;

3．f(x)= f(x)=f()．