暑假专题：仿写

教科书P₁₁₂复习参考题A组7，8，9.　 B组1，2

课后记：

3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的现实世界中不同增长规律的函数模型.

2.二分法是求方程近似解的常用方法，应掌握用二分法求方程近似解的一般步骤.

1.函数与方程的紧密联系，体现在函数y=f(x)的零点与相应方程f(x)=0的实数根的联系上.

教科书P₁₁₂复习参考题A组1-6题.

[例1] 作出函数y=x³与y=3x－1的图象，并写出方程x³=3x－1的近似解.(精确到0.1)

解：函数y=x³与y=3x－1的图象如下图所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.

因此，这三个交点的横坐标就是方程x³=3x－1的解.

由图象可以知道，方程x³=3x－1的解分别在区间(－2，－1)、(0，1)和(1，2)内，那么，对于区间(－2，－1)、(0，1)和(1，2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x₁≈－1.8，x₂≈0.4，x₃≈1.5.

[例2] 分别就a=2，a=和a=画出函数y=a^x，y=log_ax的图象，并求方程a^x=log_ax的解的个数.

思路分析：可通过多种途径展示画函数图象的方法.

解：利用Excel、图形计算器或其他画图软件，可以画出函数的图象，如下图所示.

根据图象，我们可以知道，当a=2，a=和a=时，方程a^x=log_ax解的个数分别为0，2，1.

[例3] 根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告，1999年上海完成GDP(国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需________年.(按：1999年本市常住人口总数约为1300万)

思路分析：抓住人均GDP这条线索，建立不等式.

解：设需n年，由题意得≥，

化简得≥2，解得n＞8.

答：至少需9年.

(二)方法总结

1.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.

2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛，求解此类问题常有三种途径：

(1)利用求根公式；

(2)利用二次函数的图象；

(3)利用根与系数的关系.

无论利用哪种方法，根的判别式都不容忽视，只是由于二次函数图象的不间断性，有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中.

3.用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数y=f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点x₀的近似值x，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x－x₀|≤ε.

(1)在D内取一个闭区间［a，b］D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0.

令a₀=a，b₀=b.

(2)取区间［a₀，b₀］的中点，则此中点对应的横坐标为

x₀=a₀+(b₀－a₀)=(a₀+b₀).

计算f(x₀)和f(a₀).

判断：①如果f(x₀)=0，则x₀就是f(x)的零点，计算终止；

②如果f(a₀)·f(x₀)＜0，则零点位于区间［a₀，x₀］内，令a₁=a₀，b₁=x₀；

③如果f(a₀)·f(x₀)＞0，则零点位于区间［x₀，b₀］内，令a₁=x₀，b₁=b.

(3)取区间［a₁，b₁］的中点，则此中点对应的横坐标为

x₁=a₁+(b₁－a₁)=(a₁+b₁).

计算f(x₁)和f(a₁).

判断：①如果f(x₁)=0，则x₁就是f(x)的零点，计算终止；

②如果f(a₁)·f(x₁)＜0，则零点位于区间［a₁，x₁］上，令a₂=a₁，b₂=x₁.

③如果f(a₁)·f(x₁)＞0，则零点位于区间［x₁，b₁］上，令a₂=x₁，b₂=b₁.

……

实施上述步骤，函数的零点总位于区间［a_n，b_n］上，当|a_n－b_n|＜2ε时，区间［a_n，b_n］的中点x_n=(a_n+b_n).

就是函数y=f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点与真正零点的误差不超过ε.

4.对于直线y=kx+b(k≥0)，指数函数y=m·a^x(m＞0，a＞1)，对数函数y=log_bx(b＞1)，

(1)通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.

(2)通过计算器或计算机得出多组数据结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会：

直线上升，其增长量固定不变；

指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容.

对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升.

5.在区间(0，+∞)上，尽管函数y=a^x(a＞1)，y=log_ax(a＞1)，y=xⁿ(n＞0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上，随着x的增大，y=a^x(a＞1)的增长速度越来越快，会远远超过y=xⁿ(n＞0)的增长速度，而y=log_ax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x₀，当x＞x₀时，a^x＞xⁿ＞log_ax.

6.实际问题的建模方法.

(1)认真审题，准确理解题意.

(2)从问题出发，抓准数量关系，恰当引入变量或建立直角坐标系.运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式.

(3)研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出解答.

必须说明的是：

(1)通过建立函数模型解决实际问题，目的是通过例题培养同学们应用数学的意识和分析问题的能力.

(2)把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题所得出的关于实际问题的数学描述，即为数学模型.

7.建立函数模型，解决实际问题的基本过程：

(一)第三章知识点

1.函数的零点，方程的根与函数的零点，零点的性质.

2.二分法，用二分法求函数零点的步骤.

3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆炸、对数增长)，指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.

4.函数模型，解决实际问题的基本过程.

(六)还原剂还原金属氧化物( 见上图⑾ )