5.若ξB(n,p)，则Eξ=np

证明如下：

∵　，

∴　0×+1×+2×+…+k×+…+n×．

又∵　 ，

　 ∴　 ++…++…+．

故　若ξ-B(n，p)，则np．

4. 期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ	x1	x2	…	xn	…
η			…		…
P	p1	p2	…	pn	…

于是……

　　　 ＝……)……)

　　　 ＝，

由此，我们得到了期望的一个性质:

3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望

根据射手射击所得环数ξ的分布列，

我们可以估计，在n次射击中，预计大约有　

　次得4环；

　　次得5环；

…………

　次得10环．

故在n次射击的总环数大约为

，

从而，预计n次射击的平均环数约为

．

这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个(i=0，1，2，…，10)，我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:

…．

1.数学期望:　 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 ……　 为ξ的数学期望，简称期望．

8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么

(k＝0,1,2,…， )．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ	1	2	3	…	k	…
P				…		…

称这样的随机变量ξ服从几何分布

记作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．

7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

，(k＝0,1,2,…，n，)．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ	0	1	…	k	…	n
P			…		…

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ-B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．

6. 分布列的两个性质： ⑴P_i≥0，i＝1，2，…； ⑵P₁+P₂+…=1．

5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x₁，x₂，…，x₃，…，

ξ取每一个值x_i(i=1，2，…)的概率为，则称表

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

　 若是随机变量，是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连续型)