21、(广东省2008届六校第二次联考)已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有成立.

(1) 函数是否属于集合? 说明理由;

(2) 设, 且, 已知当时, , 求当时, 的解析式.

解: (1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,

即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故.

(2) , 且, 则对任意, 有,

设, 则,

当时, ,

故当时, .

20、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知函数成等差数列.

　 (Ⅰ)求的值；

　 (Ⅱ)若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断的大小关系，并证明你的结论.

解：(Ⅰ)由成等差数列，得，即 　……5分

(Ⅱ) …………7分

∵　 ………………8分

∵　 …………10分

∴

19、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)设函数。

　 (1)求的单调区间；

　 (2)是否存在正实数，使函数的定义域为时值域为？

若存在，求 的值，若不存在，请说明理由。

18、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知函数，

　 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由。

　 (2)若函数在上是增函数，求的取值范围。

17、(本小题满分12分)已知函数的定义域为， (1)求M (2)当 时，求 的最小值. 解 (1) 　　　　(…………4分)

₍₂₎=

又，，(…………………6分)

①若，即时，==，(…………8分)

②若，即时，

所以当即时，=(………………11分)

16、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)已知向量的图象按向量m平移后得到函数的图象。

　 (Ⅰ)求函数的表达式；

　 (Ⅱ)若函数上的最小值为的最大值。

解：(Ⅰ)设P(x，y)是函数图象上的任意一点，它在函数图象上的对应点，则由平移公式，得　 …………2分

　　 ∴　 代入函数中，得

　　 　　………………2分

　　 ∴函数的表达式为　 …………1分

(Ⅱ)函数的对称轴为

①当时，函数在[]上为增函数，

∴　　 ………………2分

②当时，

∴

当且仅当时取等号；　　 …………2分

③当时，函数在[]上为减函数，

∴　 …………2分

综上可知，

∴当时，函数的最大值为

15、(山东省博兴二中高三第三次月考)已知函数f(x)的定义域为{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f(x­ - y) = 成立，且f(a) = 1(a为正常数)，当0 < x < 2a时，f(x) > 0．(I)判断f(x)奇偶性；(II)证明f(x)为周期函数；(III)求f (x)在[2a，3a] 上的最小值和最大值．

解：(1)∵定义域{x| x ≠ kπ，k∈Z }关于原点对称，

又f(- x) = f [(a - x) - a]= = = = = = - f (x)，对于定义域内的每个x值都成立

∴ f(x)为奇函数------------------------------------------------------------------------------------(4分)

(2)易证：f(x + 4a) = f(x)，周期为4a．------------------------------------------(8分)

(3)f(2a)= f(a + a)= f [a -(- a)]= = = 0，

f(3a)= f(2a + a)= f [2a -(- a)]= = = - 1．

先证明f(x)在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈(2a，3a)时，f(x) < 0，

设2a < x < 3a，则0 < x - 2a < a，

∴ f(x - 2a)= = - > 0，∴ f(x)< 0---------------------(10分)

设2a < x₁ < x₂ < 3a，

则0 < x₂ - x₁ < a，∴ f(x₁)< 0　 　f(x₂)< 0　 f(x₂ - x₁)> 0，

∴ f(x₁)- f(x₂)= > 0，∴ f(x₁)> f(x₂)，

∴ f(x)在[2a，3a]上单调递减--------------------------------------------------(12分)

∴ f(x)在[2a，3a]上的最大值为f(2a = 0，最小值为f(3a)= - 1

14、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．如果函数有且仅有两个不动点、，且．

(Ⅰ)试求函数的单调区间；

(Ⅱ)已知各项不为零的数列满足，求证：；

(Ⅲ)设，为数列的前项和，求证：．

解：(Ⅰ)设

　　　　　 　　　∴　　 ∴

　　　　　 由

　　　　　 又∵　　 ∴　　

∴　　 …………………… 3分　

　　　　　 于是

　　　　　 由得或；　 由得或

　　　　　 故函数的单调递增区间为和，

单调减区间为和　　　　 ……………………4分

(Ⅱ)由已知可得，　　 当时，

　　 两式相减得

∴或

当时，，若，则这与矛盾

∴　　 ∴　　　　 ……………………6分

于是，待证不等式即为．

为此，我们考虑证明不等式

令则，

再令，　　 由知

∴当时，单调递增　　 ∴　 于是

即　　 　　 ①

令，　　 由知

∴当时，单调递增　　 ∴　 于是

即　　 ②

由①、②可知　 ……………………10分

所以，，即　 ……11分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知　 则

　　 在中令，并将各式相加得

　　 即

13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．

(I)判断，，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；

(II)如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；

(III)若函数，是“保三角形函数”，求的最大值．

(可以利用公式)

解：(I)是“保三角形函数”，不是“保三角形函数”．　　　 1分

任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，

由于，所以是“保三角形函数”.　 3分

对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数”．　　　　　　　　　　　 4分

(II)设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，

取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长．故不是“保三角形函数”．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　8分

(III)的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

一方面，若，下证不是“保三角形函数”.

取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但

不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.

另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”．

对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：

(1)，

此时，同理，，

∴，故，．

同理可证其余两式.

∴可作为某个三角形的三边长．

(2)

此时，，可得如下两种情况：

时，由于，所以，.

由在上的单调性可得；

时，，

同样，由在上的单调性可得；

总之，.

又由及余弦函数在上单调递减，得

，

∴．

同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长．故时，是“保三角形函数”．

综上，的最大值为．

12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知函数满足下列条件：

　　 ①函数的定义域为[0，1]；

　　 ②对于任意；

　　 ③对于满足条件的任意两个数

　 (1)证明：对于任意的；

　 (2)证明：于任意的；

　 (3)不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.

　 (1)证明：对于任意的

即对于任意的 ……………………………………5分

　 (2)证明：由已知条件可得

所以对于任意的 …………………………………………10分

　 (3)解：取函数

则显然满足题目中的(1)，(2)两个条件，

任意取两个数

即不等式