31、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)已知函数f (x) =

(1)判断函数f (x)在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；

(2)如果关于x的方程f (x) = kx²有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

解(1),.

　　　 …………………………2分

　　　 上单调递增函数．……………………4分

(2)原方程即：　

①恒为方程的一个解．……………………5分

②当时方程有解，则

当时，方程无解；

当时，，方程有解．

　　　　　 设方程的两个根分别是则．

　　　　　 当时，方程有两个不等的负根；…………………7分

　　　　　 当时，方程有两个相等的负根；………………9分．

　　　　 当时，方程有一个负根………………………11分

③当时，方程有解，则

当时，方程无解；

当时，，方程有解．

设方程的两个根分别是

，

当时，方程有一个正根，

　 当时，方程没有正根．……………………13分．

　综上可得，当时，方程有四个不同的实数解．……16分．

30、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)经市场调查，某种商品在过去50天的销售和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f (t) = – 2t + 200(1 ≤ t ≤ 50 , t ∈ N )，前30天价格为g (t) = t + 30 (1 ≤ t ≤ 30 , t ∈ N )，后20天价格为g (t) = 45 (31 ≤ t ≤ 50 , t ∈ N )．

(1)写出该种商品的日销售S与时间t的函数关系；

(2)求日销售S的最大值．

解：(1)根据题意得：

　　　　　　　　　　　 ………………7分

　　　 (2)①当时，

　　　　　 当时，的最大值为………………………………10分

　　　　　 ②当，时，，

　　　　　　　　　 的最大值是……………………12分．

　　　　　 ，当时，日销量额有最大值．

29、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”

(Ⅰ)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

(Ⅱ)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”

试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

(Ⅲ)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，

解：(Ⅰ)易证函数满足条件①②，因此

(Ⅱ)假设存在两个实根，则，不妨设，由题知存在实数，使得成立。∵，且，∴与已知矛盾，所以方程只有一个实数根

(Ⅲ) 不妨设，∵，∴为增函数，∴，又∵∴函数为减函数，∴，

∴，即，

∴

28、(黄家中学高08级十二月月考)设函数是R上的奇函数。

(Ⅰ)求a的值；　　 (Ⅱ)求的反函数；

(Ⅲ)若k,解不等式：

[解]：(Ⅰ)： f(x) 是R上的奇函数，f(0)=0 得a=1

(Ⅱ)　 ∵y=　 ∴y+y·2^x=2^x-1　　 2^x(y-1)=-1-y,2^x=

　 即：f^-1(x)=log₂(-1<x<1)

(Ⅲ)　 log₂>log₂等价于

(i)　 -1<1-k<1,即0<k<2时，{}

(ii)　 1-k-1,即k2时，{}

27、(湖北省荆门市2008届上期末)设函数(、)

(1)若，且对任意实数均有0成立，求实数、的值.

(2)在(1)的条件下，当[－2，2]时，是单调函数，求实数的取值范围.

解 ：(1)　

又对任意实数均有0成立恒成立，即恒成立　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………6分

(2)由(1)可知

在[－2，2]时是单调函数，

　 即实数的取值范围为

26、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在(0，)上减函数，在是增函数。

(1)如果函数的值域为，求的值；

(2)研究函数(常数)在定义域的单调性，并说明理由；

(3)对函数和(常数)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)，并求函数

(n是正整数)在区间[，2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论)。

解：(1)函数的最小值是，则=6，(2分)

　　　　 (2)设

　　　　　 当时，，函数在是增函数；(4分)

　　　　　 当时，，函数在是减函数(5分)

　　　　　 又是偶函数，于是，该函数在上是减函数，在

是增函数

　　　　 (3)可以把函数推广为(常数)，其中a是正整数。(7分)

当n是奇数时，函数在是减函数，在是增函数，在上是增函数，在上是减函数；(9分)

当n是奇数时，函数在是减函数，在是增函数，在上是减函数，在上是增函数；工协作(11分)

因此在上减函数，在[1，2]上是增函数。

反以，当或时，取得最大值当x=1时取得最小值。

25、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)某市的出租车的价格规定：起步费11元，可行3千米；3千米后按每千米2.1元计价,可再行7千米;以后每千米都按3.15元计价,设每一次乘车的车费由行车里程确定.

(1)请写出一次乘车的车费y元与行车的里程x千米的函数关系;

(2)计算如果一次乘车费为32元,那么汽车行程为多少千米?

(3)请问当行程为28千米时,请你设计一种乘车方案,使总费用最省.

解：(1)　 (4分)

　 (2)=32，　 千米(6分)

　 (3)当行程为3千米时，平均每千米为11/3元，显然当行程为10千米时，费用最省，即行程10千米时下车，重新上车计费，故当行程为28千米时，两次分别行程10千米时下车，重新上车计费，其费用为72.9元。

24、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)设f(x)是定义在(0，1)上的函数，且满足：①对任意x∈(0，1)，恒有f (x)>0；②对任意x₁，x₂∈(0，1)，恒有+≤2.

(Ⅰ)求证：对任意x∈(0，1)，恒有f(x)＝f (1－x)；

(Ⅱ)求证：对任意的x₁、x₂∈(0，1)，恒有f (x₁)＝f (x₂)．

23、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的关系式：

(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？

(2)一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内, 求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟?

(3)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M=，它能高于45吗？

解：(1)0<x≤10时，有f(x)=-0.1x²+2.6x+43=-0.1(x-13)²+59.9

故当0<x≤10时，时，f(x)递增，最大值为f(10)=-0.1×(-3)²+59.9=59;

显然，当16<x≤30时，f(x)递减，f(x)<-3×16+107=59.

　 因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力(值为59)，

并维持6分钟；　　　　　　 (5分)

　 (2) 依题意, 当0<x≤10时，令f(x)≥55,则(x-13)²≤49,　

∴6≤x≤10;　　　 (7分)

　　　 当10<x≤16时，f(x)=59符合要求；(8分)

当16<x≤30时，令f(x)≥55,则x≤17　 (9分)

因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11 (分钟)；(11分)

　(3)f(5)=53.5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47，f(25)=32, f(30)=17

所以M=≈44.6<45.　　 (13分)

故知平均值不能高于45.

22、(广东省佛山市2008年高三教学质量检测一)佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为

　 ，每件产品的售价与产量之间的关系式为

．

(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；

(Ⅱ)若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．

解：(Ⅰ)总成本为．　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

所以日销售利润

．　　　　　　　　　　 ……6分

(Ⅱ)①当时，．　　　　　 ……7分

令，解得或．　　　　　　　　 　　　　　……8分

于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000；　　　　　　　　　　　　　 ……10分

②当时，．　　　　　　　　 ……12分

综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．