77、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。

(1)若，求的值；

(2)用表示，并求的最大值。

解：(1)设与在公共点处的切线相同

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

由题意知　　 ，∴

由得，，或(舍去)　　　　　　　　　　　 4分

即有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(2)设与在公共点处的切线相同

由题意知　　 ，∴

由得，，或(舍去)　　　　　　　　　 7分

即有　　　　　　　　　　　 8分

令，则，于是

当，即时，；

当，即时，　　　　　　　　　　　　　 10分

故在的最大值为，故的最大值为　　　 12分

76、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)已知函数f(x)=e^x­–kx,xR

　 (1)若k=e，试确定函数f(x)的单调区间。

　 (2)若k>0,且对于任意xR，f(|x|)>0恒成立，试确定实数k的取值范围

　 (3)设函数F(x)=f(x)+f(－x),求证：　 F(1)F(2)…F(n)=

解：(1)由K=e得f(x)=e^x－ex, 所以f’(x)=e^x－e. 由f’(x)>0得x>1,故f(x)的单调增区间

为(1，+∞)，由f’(x)<0得x<1,故f(x)的单调递减区间为(－∞，1)(3分)

　 (2)由f(|x|)>0对任意x∈R成立等价于f(x)>0对任意x≥0成立。由f’(x)=e^x－k=0得x=lnk.　

①当k∈(0,1) 时 ，f’(x)=e^x－k ≥1－k≥0(x>0),此时f(x)在(0，+∞上单调递增，

故f(x)≥f(0)＝1>),符合题意。②当k∈(1,+∞)时，lnk>0,当X变化时，f’(x)、f(x)的变化情况

如下表：

由此可得，在(0，+∞)上f(x)≥f(lnk)=k－lnk.依题意，k－klnk>0,又k>1,所以1<k<e.综上所述，实数k的取值范围是0<k<e.　 (8分)

　　 (3)因为F(x)=f(x)+f(－x)=e^x+e^－x,所以F(x₁)F(x₂)=

≥≥ ,

所以F(1)F(n)>eⁿ⁺¹+2,F(2)F(n－1)>eⁿ⁺¹+2

　　 ……F(n)F(1)>eⁿ⁺¹+2.　　

由此得，[F(1)F(2)…F(n)]²=[F(1)F(n)][F(2)F(n－1)]…[F(n)F(1)]>(eⁿ⁺¹+2)ⁿ

故F(1)F(2)…F(n)>(eⁿ⁺¹+2) ,n∈N^*　　 (12分)

75、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)设函数，

(1)求函数的单调区间和极值

(2)若当时，恒有，试确定的取值范围

解：(1) f(x)的导函数f ¢(x)=-x²+4ax-3a² =-(x-2a)²+a² ……………2分

∵f ¢(x)在区间(0，1)上存在反函数

∴ 2a≤0或2a≥1 …………………4分

又∵0<a<1

∴a的取值范围是 ≤a<1　　 …………………6分

(2)由| f ¢(x) | ≤a，得 -a≤-x²+4ax-3a²≤a

∵a+1>2a，∴f ¢(x)在[ a+1 , a+2 ]上是减函数。…………………8分

∴f ¢(x)_max = f ¢(a+1)=2a-1………………………9分

f ¢(x)_min = f ¢(a+2)=4a-4………………10分

∴解得　 ≤a<1　 ………………12分

74、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)已知函数(b,c,d∈R且都为常数)的导函数且f(1)=7，设

(1)当a<2时，的极小值；

(2)若对任意都有成立，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下比较的大小.

(1)

∴2b=4　 c=0　　 ∴b=2　 c=0

∴

f(1)=7　　　 d=4　　　　 ∴f(x)=x³+2x²+4 ……………………………………2分

∵F(x)=f(x)－ax²=x³+(2－a)x²+4

则

　　 x₁=0　　　 x₂=－

∵a<2　　　 ∴x₁>x₂

故由

∴F(x)在上单调增在上单调减

故x=0时F(x)取得极小值为F(0)=4 ………………………………………………5分

(2)F(x)≥0恒成立　 当x∈[0，+∞)时F(x)最小值≥0

①当2－a>0即a<2时由(1)知F(x)_min=F(0)=4>0符合题意 ………………………7分

②若2－a≤0，即a≥2时，由(1)知x₁<x₂

∴当x∈[0，+∞)时，F(x)_min=

即

a≤5　　 ∴2≤a≤5

综上所述　 a≤5　 ……………………………………………………………………10分

(3) ……………………12分

∵a≤5　　 ∴　　 6－a≥1

故

∴(等号在a=5时成立)　 …………………………………14分

73、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)函数在区间(0，+∞)内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点()处的切线方程，并设函数

　 (1)用、、表示m；

　 (2)证明：当；

　 (3)是否存在实数a，使得若关于的不等式上恒成立？若存在，求出a的范围，若不存在说明理由。

解：(1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5′

　 (2)证明：令

　　　　 因为递减，所以递增，因此，当；

　　　　 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即　　　　　　　　　　　　　 11′

　　 (3)是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　 对任意成立的充要条件是

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14′

　　 令，于是对任意成立的充要条件是

　　 　由

　　 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即　　　　　　　　　　 17′

　　 综上所述，当1≤a≤不等式成立．　　　　 18′

72、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)设常数，函数.

(1)令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；

(2)求证：在上是增函数；

(3)求证：当时，恒有．

解(Ⅰ)∵，

　　　　 ∴，

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

∴，

∴，令，得，　　　　　 ……4分

列表如下：

x	(0,2)	2	(2，+∞)
g'(x)	－	0	+
g(x)		极小值g(2)

∴在处取得极小值，

即的最小值为．　　　　　　　 ……6分

，

∵，∴，又，

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知，的最小值是正数，

∴对一切，恒有，　　　　　 ……10分

从而当时，恒有，　　　　　　　　　　　 ……11分

故在上是增函数．　　　　　　　　　　　 ……12分

证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知：在上是增函数，

　　 ∴当时，，　　　　　　　　　　　　　 ……13分

　　 又， 　　　　　　　　　　　……14分

∴，即，　　　　　　　 ……15分

∴

故当时，恒有．　　　　　　　 ……16分

71、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

(Ⅲ)问是否存在实数(是与无关的常数)，当时，恒有恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由。

解：(Ⅰ)方法一、 .由题设，得 ①

　②

∵，∴，∴。

由①代入②得，∴，

得∴或 ③

将代入中，得 ④

由③、④得；

方法二、同上可得：将(1)变为：代入(2)可得：，所以，则

方法三：同上可得：将(1)变为：代入(2)可得：，显然，所以

因为图象的开口向下，且有一根为x₁=1

由韦达定理得,

,所以，即，则，由得：

所以：

方法四：由得：且，由此可知

(Ⅱ)由(1)知，的判别式Δ=

∴方程有两个不等的实根，

又,∴，

∴当或时，，当时，，

∴函数的单调增区间是，∴，由知。

∵函数在区间上单调递增，∴，∴，即的取值范围是；

(Ⅲ)由，即，∵，，∴，∴或。由题意，得，∴，∴存在实数满足条件，即的最小值为。

70、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知函数(a＞0，且a≠1)，其中为常数．如果 是增函数，且存在零点(为的导函数)．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函数y＝g(x)的图象上两点，( 为的导函数)，证明：．

解：(Ⅰ)因为，

所以． …………………………………………3分

因为h(x)在区间上是增函数，

所以在区间上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．

又存在正零点，故△＝(－2lna)²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零点，故△＝(－2lna)²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)，，于是，．…………………………9分

以下证明．　　　 (※)

(※)等价于． ……………………………………………11分

令r(x)＝xlnx₂－xlnx－x₂+x，…………………………………………………………13分

r ′(x)＝lnx₂－lnx，在(0，x₂］上，r′(x)>0，所以r(x)在(0，x₂］上为增函数．

当x₁<x₂时，r(x₁)< r(x₂)＝0，即，

从而得到证明．……………………………………………………………………15分

对于同理可证……………………………………………………………16分

所以．

评讲建议：

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：

要证明，只要证明>1，令，作函数h(x)＝t－1－lnt，下略．

69、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知函数

　 (1)求函数的单调区间；

　 (2)若≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；

　 (3)证明：

解：(1)函数的定义域为(0，+)

(2分)

当k>0时，，所以函数的单调递增区间为(0，)单调递减区是为

当k=0时，不等式恒成立，所以函数是单调递增区间为(0，+)

当k<0时，因为x>0，所以不等式恒成立，所以函数是单调递增区间为(0，+)

综上所述，当k>0时，函数的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为[，+)；当k≤0时，函数的单调递增区间为(0，+)。(5分)

(2)由(1)知k≤时，函数是增函数，而，不成立，所以k>0，由(1)可得恒成立，只需，

所以所以k≥1(9分)

(3)由(2)可得当k=1时，lnx≤x－1在(0，+)上恒成立。

ln2≤1 ln3≤2　 ln4≤3　 ……

　以上各式左右两边分别相加得

≤1+2+3+…+n=　

68、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)已知函数，设。

(Ⅰ)求F(x)的单调区间；

(Ⅱ)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，求实数的最小值。

(Ⅲ)是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说名理由。

解.(Ⅰ) 　　

由。

(Ⅱ)

　　 当

　　 …………………………………………4分

(Ⅲ)若的图象与

的图象恰有四个不同交点，

即有四个不同的根，亦即

有四个不同的根。

令，

则。

当变化时的变化情况如下表：

		(-1,0)	(0,1)	(1,)
的符号	+	-	+	-
的单调性	↗	↘	↗	↘

由表格知：。

画出草图和验证可知，当时，

　………………12分