67、(黄家中学高08级十二月月考)设函数R.

　 (1)若处取得极值，求常数a的值；

　 (2)若上为增函数，求a的取值范围.

[解]：(Ⅰ)

因取得极值，　 所以　 解得

经检验知当为极值点.

(Ⅱ)令

当和上为增函数，

故当上为增函数.

当上为增函数，

从而上也为增函数.

综上所述，当上为增函数.

66、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)(1)已知函数m(x)＝ax²e^－x (a＞0), 求证: 函数y＝m(x)在区间[2,+∞)上为减函数.

(2) 已知函数f(x)＝ax²+2ax, g(x)＝e^x, 若在(0, +∞)上至少存在一点x₀, 使得f(x₀)＞g(x₀)成立, 求实数a的取值范围.

解:(1) m '(x)＝ axe^－x(2－x), 而ax＞0, ∴当x＞2时, m '(x)＜0, 因此m(x)在[2,+∞)上为减函数.

(2)记m(x)＝, 则m'(x)＝(－ax²+2a)e^－x,

当x＞时, m '(x)＜0 当0＜x＜时, m '(x)＞0

故m(x)在x＝时取最大值,同时也为最大值. m(x)_max＝m()＝

依题意, 要在(0,+∞)上存在一点x₀, 使f(x₀)＞g(x₀)成立. 即使m(x₀)＞1只需m()＞1

即＞1 ∴ 　, 因此, 所求实数a的取值范围为(, +∞)

65、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)已知函数．

(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a₁ = 4，求证：a_n ³ 2n + 2；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．

解：(1)，．

要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，

当在内恒成立；

当要使恒成立，则，解得，

当恒成立，

所以的取值范围为．

根据题意得：，

于是，

用数学归纳法证明如下：

当，不等式成立；

假设当时，不等式成立，即也成立，

当时，，

所以当，不等式也成立，

综上得对所有时，都有．

(3) 由(2)得，

于是，

所以，

累乘得：，

所以．

64、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知函数在区间(1，2 ]上是增函数，在区间(0，1)上为减函数.

(Ⅰ)试求函数的解析式；

(Ⅱ)当 x >0时，讨论方程解的个数.

解: (Ⅰ)在恒成立,

所以,.

又在恒成立,

所以 ,.　　　　　　　　　 …………………………………4分

从而有.

故,.　　　　　　　 …………………………6分

　(Ⅱ)令,

　　 则

所以在上是减函数,在上是增函数,　　　 ……………………9分

从而当时,.

所以方程在只有一个解.　　 ……………………12分

63、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)函数是偶函数。

⑴求实数的值；

⑵比较的大小；

⑶求函数在区间上的最大值。

62、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)设函数

⑴求的单调区间；

⑵若关于的方程在区间上恰有两个相异实根，求实数的取值范围。

解：⑴定义域为，因为

所以，当或时，

当或时，

故的单调递增区间是和

的单调递减区间是和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(注：和处写成“闭的”亦可)

⑵由得：，

令，则或

所以≤时，≤时，

故在上递减，在上递增　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

要使在恰有两相异实根，则必须且只需

即

61、(湖北省荆门市2008届上期末)设函数相切于点(1，－11)。

　 (1)求a，b的值；

　 (2)讨论函数的单调性。

解：(1)求导得　　 ………………2分

　　 由于相切与点(1，－11)，

　　 所以　　　　　 ………………5分

　　 解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

　 (2)由

　　 令

　　 所以当是增函数，　　　　　　　　　 ………………8分

　　 当也是增函数；　　　　　　　　　　　 ………………10分

　　 当是减函数。

60、(湖北省荆门市2008届上期末)已知函数.

(1)求函数在上的最大值、最小值；

(2)求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；

(3)求证：≥N^*).

解：(1)∵f¢ (x)=∴当xÎ时，f¢ (x)>0，　∴在上是增函数

　　 故，.　 ……………………4分

(2)设，则，

∵时，∴，故在上是减函数.

又，故在上，，即，

∴函数的图象在函数的图象的下方.　 ……………………8分

(3)∵x>0，∴，当时，不等式显然成立；

当≥时，有

≥

∴≥N^*)

59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)若函数

　 (Ⅰ)求函数的单调区间

　 (Ⅱ)若对所有的成立，求实数a的取值范围.

解：(1)的定义域为　　　　　　　　　　　 …………12分

　　 　　　　　　　　　 …………2分

　　 ①当…………3分

　　 ②时

　　 　　　　　　 …………4分

　　 　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　　 综上：

　　 单调递减区间为

　　 的单调递增区间(0，+)　　 …………6分

　 (2)　　　 …………7分

　　 　　　　　　　　　　　 …………8分

　　 则　　　　　　　　　　　　　　 …………9分

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

　　 　　　　　　　　　　　　　 …………11分

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

　　 另解：　　　　

　　 …………7分

　　 　　　　　 …………8分

　　 单增　　　　　　 …………9分

　　 ①当

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………11分

　　 ②当

　　 不成立　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

　　 综上所述

58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。

(1)试求函数的单调区间；

(2)已知各项不为零的数列满足，求证：；

(3)设，为数列的前项和，求证：。

(1)设

　　　　　 　　　∴　　 ∴

　　　　　 由

　　　　　 又∵　　 ∴　　

∴　　 …… 3分　

　　　　　 于是

　　　　　 由得或；　 由得或

　　　　　 故函数的单调递增区间为和，

单调减区间为和　　　　　　　　　　　 ……4分

(2)由已知可得，　　 当时，

　　 两式相减得

∴或

当时，，若，则这与矛盾

∴　　 ∴　　　　　　　　　　　 ……6分

于是，待证不等式即为。

为此，我们考虑证明不等式

令则，

再令，　　 由知

∴当时，单调递增　　 ∴　 于是

即　　 　　 ①

令，　　 由知

∴当时，单调递增　　 ∴　 于是

即　　 ②

由①、②可知　　　　　　　　　 ……10分

所以，，即　　　　 ……11分

(3)由(2)可知　 　则

　　 在中令，并将各式相加得

　　 即　　　　　　　　　　　　　　 ……14分