由 得 ∴双曲线C的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为设 　　 由得P点的坐标为

将P点坐标代入化简得

设∠AOB

又

记由

当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是

2.(2009年陕西理21)(本小题满分12分)

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。

(I)求双曲线C的方程；　　　　　　　　　　　　　　　　

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。　　

1. (2010年广东理20)(本小题满分为14分)

　一条双曲线的左、右顶点分别为A₁,A₂，点，是双曲线上不同的两个动点。

　　 (1)求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程式；

　　 (2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且 _,求h的值。

故，即。

(2)设，则由知，。将代入得

，即，

由与E只有一个交点知，，即[来源。

同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而

，即。

6.(2007年海南理13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线

的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　．

[答案]：3[分析]：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别

向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，

则：

5.(2008年海南理14)设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　．

解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，

建立方程组，得交点纵坐标，从而

4. (2009年辽宁理16)已知F是双曲线的左焦点，定点A(1，4)，

P是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________。

[解析]9　 设双曲线的右焦点为E，则，

，当A、P、E共线时，

，的最小值为9。

3.(2010年江苏6)在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______

[答案]4

[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。

2.(2010年北京理13)已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦

点相同，那么双曲线的焦点坐标为　　　　 ；渐近线方程为　　　　　 。

解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为

1.(2010年上海理13)如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是　　　　　　　

解析：

=，点P在双曲线上

，化简得4ab=1

10.(2009年浙江理9)过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是(　　 )

A．　　　　　 　　B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

C [解析]对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．