1正、余弦定理的综合运用

余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：

sin²A＝sin²B+sin²C－2sinBsinCcosA

这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之

［例1］在△ABC中，已知sin²B－sin²C－sin²A＝sinAsinC，求B的度数

解：由定理得sin²B＝sin²A+sin²C－2sinAsinCcosB，

∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC

∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ＝－　 ∴B＝150°

［例2］求sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°的值

解：原式＝sin²10°+sin²50°+sin10°sin50°

在sin²A＝sin²B+sin²C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，

则A＝120°

sin²120°＝sin²10°+sin²50°－2sin10°sin50°cos120°

＝sin²10°+sin²50°+sin10°sin50°＝()²＝

［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状

解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin²A，

由定理得sin²A+sin²C－sin²Β＝sin²A，

∴sin²C＝sin²B∴B＝C

故△ABC是等腰三角形

2一题多证

［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形

证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝

∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin(B+C)＝sinBcosC+cosBsinC

∴sinBcosC－cosBsinC＝0

即sin(B－C)＝0，∴B－C＝nπ(n∈Z)

∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形

证法二：根据射影定理，有a＝bcosC+ccosB，

又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC+ccosB∴bcosC＝ccosB，即

又∵∴即tanB＝tanC

∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三角形

证法三：∵cosC＝∴

化简后得b²＝c²∴b＝c　 ∴△ABC是等腰三角形

1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积

解：设△ABC三边为a，b，c则S_△ABC＝

∴

又，其中R为三角形外接圆半径

∴, ∴abc＝4RS_△ABC＝4×1×0．25＝1

所以三角形三边长的乘积为1

评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：

，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式S_△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解

2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求

AB

解：在△ADC中，

cosC＝

又0＜C＜180°，∴sinC＝

在△ABC中，

∴AB＝

评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用

3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值

解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π

∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝

∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π

∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°

若B＞150°，则B+A＞180°与题意不符

∴0°＜B＜30°　 cosB＝

∴cos(A+B)＝cosA·cosB－sinA·sinB＝

又C＝180°－(A+B)

∴cosC＝cos［180°－(A+B)］＝－cos(A+B)＝－

评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较

例1在任一△ABC中求证：

证：左边=

==0=右边

例2 在△ABC中，已知，，B=45° 求A、C及c

解一：由正弦定理得：

∵B=45°<90°　 即b<a　　　　　 ∴A=60°或120°

当A=60°时C=75°　

当A=120°时C=15°　

解二：设c=x由余弦定理

将已知条件代入，整理：

解之：

当时

　从而A=60° ，C=75°

当时同理可求得：A=120° ，C=15°

例3 在△ABC中，BC=a, AC=b,　 a, b是方程的两个根，且

2cos(A+B)=1

求(1)角C的度数　 (2)AB的长度　 (3)△ABC的面积

解：(1)cosC=cos[p-(A+B)]=-cos(A+B)=-　　 ∴C=120°

(2)由题设： 　

∴AB²=AC²+BC²-2AC•BC•osC

　 即AB=

(3)S_△ABC=

例4 　如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° 求BC的长

解：在△ABD中，设BD=x

则

即　　

整理得：

解之：　　　 (舍去)

由余弦定理：

　 ∴

例5 　△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1°求最大角 ;

　 2°求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积

解：1°设三边　 且

∵C为钝角　 ∴解得

∵　　　 ∴或3　 但时不能构成三角形应舍去

当时

2°设夹C角的两边为　 　

S

当时S_最大=

例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长

分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程

解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，

在△ADB中，cosADB＝

在△ADC中，cosADC＝

又∠ADB+∠ADC＝180°

∴cosADB＝cos(180°－∠ADC)＝－cosADC

∴

解得，x＝2, 所以，BC边长为2

评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型

另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：

由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5k，DC＝3k，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA

正弦定理：

余弦定理：

　　　　　 ，

21．将一定量的氧化铜加入到100.0g质量分数为19.6%的硫酸溶液中，完全溶解后溶液显蓝色，再加入19.6g铁粉充分反应后，经过滤干燥得到的固体仍为19.6g。

　 (1)通过计算说明干燥后的固体是什么物质？

20．将Al₂O₃和Fe₂O₃的混合物进行如下实验，试写出各步操作所发生反应的离子方程式：

①将混合粉末用硫酸充分溶解：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

②在溶液中用过量浓氨水中和，得到沉淀：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

③在沉淀中滴加KOH溶液，充分反应滤出沉淀得：　　　　　　　　　　　　　　　　

④往滤液中通入足量CO₂：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

19．已知A、B、C为常见的单质，在一定条件下相互转化的关系如图：

　 (1)若常温下，A、B均为气体，C为红色固体，E为黑色固体，则E的化学式为__________，写出A + E →D的化学反应方程式__________________________。

　 (2)若常温下B、C均为气体，A为金属单质，D为黑色晶体，则E的电子式为_____________，写出A + E → D的化学反应方程式_____________________。

　 (3)若常温下B为气体，C为黑色固体，则构成金属A的原子结构示意图为____________，写出A + E → D的化学反应方程式___________________________。

18．判断存放的FeCl₂溶液是否变质。从现象观察看 　　　　　　　　　　　　 　　　 ；鉴定的方法为加入 　　　　 　 试剂,若溶液出现　　　　　　　　　　　　　　 　　 ；则证明有 　　　　 　　 存在。实验室为了防止FeCl₂溶液变质，在配制时常加入　　 　　　　 　和　　　　 　。　向FeSO₄溶液中滴加NaOH溶液,并放置一段时间,此过程中观察到的现象　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　。　 　

17．Ⅰ.将刮去氧化膜的镁片投入沸水中，反应的化学方程式为　　　　　。

Ⅱ.若用灼热的镁粉与水蒸气反应，则在生成H₂的同时还可能得到氧化镁粉未。为实现这一反应并收集一瓶H₂，某课外活动小组设计了如图所示的装置。

(1)实验开始时，应先点燃　(填“A”或“B”)处的酒精灯，等观察到　　，再点燃另一酒精灯。这样做的目的是　　　。

(2)若将装置D与干燥管相连，则所连导管口应为　　(填“m”或“n”)，这种方法叫　　(填“向上”、“向下”)排气法

(3)小试管C的作用是　　　　。

(4)装置E的作用是检验集气瓶中是否收集满了H₂，则检验的操作和需要观察的现象是　　　　。　

(5)反应一段时间后，B装置玻璃管中可能残留的固体物质除MgO外，还可能Mg和Mg(OH)₂ 任选其中一种，设计实验证明它的存在，简要写出主要操作．所用试剂．现象及结论。