4．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：

(1)求概率的步骤是：

第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．

第三步，运用公式求得．

(2)概率问题常常与排列组合问题相结合．

第4课时　 离散型随机变量的期望与方差

3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．

独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．

2．运用 P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当为相互独立事件时，运用公式便错．

1．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种(即与，是必然事件)，在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率就是二项式展开式中的第项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件的概率均不为0，1时，“若互斥，则一定不相互独立”、“若相互独立，则一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系．

5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率　　　　　　　　　　　　　　 ，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作

例1. 袋子中有1个白球和2个红球．

⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．

⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．

⑶ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数的分布列．

⑷ 每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数的分布列．

解： ⑴

＝

＝

所求的分布列是

	1	2	3

⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是

	1	2	3	…		…
P				…		…

⑶

	1	2	3	4	5
P

⑷

∴ P＝(＝k)＝C₅^k()^k·()^5－k，

其中

∴所求的分布列是

	0	1	2	3	4	5
P

变式训练1. 是一个离散型随机变量，其分布列为

	-1	0	1

则q ＝　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．1　　　　　　　　 B．

C．　　 　　　　 D．

解：D

例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．

解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为；事件“”包含的基本事件总数为；事件包含的基本事件总数为；从而有

∴随机变量的分布列为：

	3	4	5	6

变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记为2粒中优质良种粒数，则的分布列是　　　　　　 .

解：

	0	1	2
P	0.49	0.42	0.09

例3. 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布.

解：

	0	1	2	3	4
	0.09	0.3	0.37	0.2	0.04

变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为，求随机变量的概率分布. 解：

	0	1	2	4
P

4．离散型随机变量分布列的性质

(1) 所有变量对应的概率值(函数值)均为非负数，即　　　　　　 　　．

(2) 所有这些概率值的总和为　　　　 即　　　　 ．

(3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的　　　　　

3．从函数的观点来看，P(＝x_k)＝P_k，k＝1， 2， …，n，…称为离散型随机变量的概率函数或概率分布，这个函数可以用　　　　 表示，这个　　　 叫做离散型随机变量的分布列．

2．如果随机变量可能取的值　　　　　　　　　　 ，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．

1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做　　　　 ，随机变量通常用希腊字母，等表示．

2．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1 次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．

第4课时　 离散型随机变量的分布列