；B：
；
，B：
；
，B：方程
有实根；
且
则p叫做q的
条件．3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．
|
例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是 ( )
A．p:0＝
；q:0∈
B．p：在
ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B； 
y＝sinx在第一象限是增函数
C．
；不等式
的解集为
D．p：圆
的面积被直线
平分；q：椭圆
的一条准线方程是x＝4
解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，
命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)．
变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么( )
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题q和命题p的真值不同
解： D
例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
(1) 若q<1，则方程x2+2x+q＝0有实根；
(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3) 若x2+y2＝0，则x、y全为零.
解：(1)逆命题：若方程x2+2x+q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2+2x+q＝0无实根，则q≥1，为真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2+y2＝0，为真命题．
否命题：若x2+y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2+y2≠0，为真命题．
变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
(1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；
(2)矩形的对角线互相平分且相等；
(3)相似三角形一定是全等三角形.
解：(1)否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.
原命题为真命题，否命题也为真命题.
(2)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”
原命题是真命题，否命题是假命题.
(3)否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.
原命题是假命题，否命题是真命题.
例3. 已知p：
有两个不等的负根，q：
无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．
解：p：
有两个不等的负根．
q：
无实根．
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．
(ⅰ) 当p真且q假时，有
；
(ⅱ) 当p假且q真时，有
．
综合，得
的取值范围是{
或
}．
变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围.
解 ： 由函数y=ax在R上单调递减知0<a<1，所以命题p为真命题时a的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,
则y=
不等式x+|x-2a|>1的解集为R，只要ymin>1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a>1，即a>
即q真
a>若p真q假,则0<a≤
若p假q真，则a≥1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0<a≤
或a≥1.
例4. 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y+
，b＝y2－2z+
，c＝z2－2x+
．求证：a、b、c中至少有一个大于0．
证明：假设
都不大于0，即
，则
而
＝
，
．
相矛盾．因此中至少有一个大于0．
变式训练4：已知下列三个方程：①x2+4ax－4a+3＝0，②x2+(a－1)x+a2＝0，③x2+2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
解：设已知的三个方程都没有实根．
则
解得
．
|
．