3．命题“"xÎR，x²-x+3>0”的否定是　　　　　　　　　　　

2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为(　　 )

A．大前提错误　　 B．小前提错误　　　 C．推理形式错误　 D．非以上错误　　　　　

1．命题p：存在实数m，使方程x²+mx+1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是(　　　 )

A.存在实数m，使得方程x²+mx+1＝0无实根；

B.不存在实数m，使得方程x²+mx+1＝0有实根；

C.对任意的实数m，使得方程x²+mx+1＝0有实根；

D.至多有一个实数m，使得方程x²+mx+1＝0有实根；

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则Øq”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

例1　 写出下列全称命题的否定：

(1)p：所有人都晨练；

(2)p："xÎR，x²+x+1>0；

(3)p：平行四边形的对边相等；

(4)p：$ x∈R，x²－x+1＝0；

分析：(1)Ø P：有的人不晨练；(2)$ x∈R，x²+x+1≤0；(3)存在平行四边形，它的的对边不相等；(4)"xÎR，x²－x+1≠0；

例2 写出下列命题的否定。

(1) 所有自然数的平方是正数。

(2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。

(3) 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

(4) 有些质数是奇数。

解：(1)的否定：有些自然数的平方不是正数。

(2)的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

(3)的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

(4)的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x²＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3 写出下列命题的否定。

(1) 若x²＞4 则x＞2.。

(2) 若m≥0,则x²+x-m=0有实数根。

(3) 可以被5整除的整数，末位是0。

(4) 被8整除的数能被4整除。

(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解(1)否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。(完整表达为对任意的实数x, 若x²＞4 则x＞2)

(2)否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。(原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x²+x-m=0有实数根。)

(3)否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

(4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

(5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。)

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。　

(1)p：若x＞y,则5x＞5y；

(2)p：若x²+x﹤2,则x²-x﹤2；

(3)p：正方形的四条边相等；

(4)p：已知a,b为实数，若x²+ax+b≤0有非空实解集，则a²-4b≥0。

解：(1)Ø P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题

　 　　否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

(2)Ø P：若x²+x﹤2，则x²-x≥2；真命题

　　 　否命题：若x²+x≥2，则x²-x≥2)；假命题。

　 (3)Ø P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。　

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

(4)Ø P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a²-4b﹤0。假命题。

　 否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a²-4b﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定(非)是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

2.关键量词的否定

词语	是	一定是	都是	大于	小于	且
词语的否定	不是	一定不是	不都是	小于或等于	大于或等于	或
词语	必有一个	至少有n个	至多有一个	所有x成立	所有x不成立
词语的否定	一个也没有	至多有n-1个	至少有两个	存在一个x不成立	存在有一个成立

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：" xÎM,有P(x)成立；其否定命题┓P为：$x∈M,使P(x)不成立。存在性命题P：$xÎM，使P(x)成立；其否定命题┓P为：" xÎM,有P(x)不成立。

用符号语言表示：

P:"ÎM, p(x)否定为Ø P: $ÎM, Ø P(x)

P:$ÎM, p(x)否定为Ø P: "ÎM, Ø P(x)

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

问题2：写出命题的否定

(1)p：$ x∈R，x²+2x+2≤0；

(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：有些函数没有反函数；

(4)p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：(1)" xÎR，x²+2x+2>0；

(2)任何三角形都不是等边三角形；

(3)任何函数都有反函数；

(4)对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：,

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

(1)所有的矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)"xÎR，x²-2x+1≥0

分析：(1)"，否定：存在一个矩形不是平行四边形；

(2)，否定：存在一个素数不是奇数；

(3)，否定：$xÎR，x²-2x+1<0；

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.