① 充分利用现成结果，减少运算过程

　　 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

　　 例　 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

　　 例　 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值

③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

　　 例　 　点A(3，2)为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

典型例题　　 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

变式练习：

已知P(x，y)是椭圆x²+4y²=1上任一点，试求P到直线x + y – 2 = 0的最小值及此时P的坐标。

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题　 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

　　 即，

　　 其圆心为C()

　　 又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。

　　 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

变式练习：

某直线l过直线L₁：4x-3y-12=0和L₂：7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线L₁的倾斜角的一半，求此直线l的方程

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

典型例题　 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

　　 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。

　　 由方程组消去后得

　　 由，得　　　　　　 (1)

　　 又P、Q在直线上，

　　 把(1)代入，得，

　　 即

　　 化简后，得

　　 　　　　(4)

　　 由，得

　　 把(2)代入，得，解得或

　　 代入(4)后，解得或

　　 由，得。

　　 所求椭圆方程为

　　 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

变式练习：

若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x²+y²=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1，将M点坐标代入，可得：(²-1)(x²+y²)-4²x+(1+4²)=0.

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。

变式练习：

过抛物线y=4x的焦点F作斜率为k的弦AB，且≤8，此外，直线AB和椭圆3x+2y=2交于不同的两点。

(1)求直线AB的斜率k的取值范围

(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程

(6) 存在两点关于直线对称问题

　　 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

典型例题　 　已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。

　　 分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得

。

　　 又，，，代入得。

　　 又由解得交点。

　　 交点在椭圆内，则有，得。

变式练习：

为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。

(7)两线段垂直问题

　　 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题　　 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点(如图)。

　　 (1)求的取值范围；

(2)直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

分析：(1)直线代入抛物线方程得，

　　 由，得。

　　 (2)由上面方程得，

　 ，焦点为。

由，得，或

变式练习：

经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。

B:解题的技巧方面

　　 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

(1)充分利用几何图形

　 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

　 典型例题　 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

　　 解： 圆过原点，并且，

　　 是圆的直径，圆心的坐标为

　　 又在直线上，

　　 即为所求。

　　 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。

变式练习：

已知点P(5，0)和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。

　　 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

A:常规题型方面

(1)中点弦问题

　　 　　具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

　 　典型例题　 给定双曲线。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点　 及，求线段的中点P的轨迹方程。

　　 分析：设，代入方程得，。

　　 两式相减得

　　 。

　　 又设中点P(x,y)，将，代入，当时得

　　 。

　　 又，

　　 代入得。

当弦斜率不存在时，其中点P(2，0)的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是

　　 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

变式练习：

给定双曲线2x² - y² = 2 ，过点B(1,1)能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Q₁、Q₂ 两点，且点B是线段Q₁Q₂的中点？如果直线L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.

(2)焦点三角形问题

　　 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

　 典型例题　 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。

　　 (1)求证离心率；

　　 (2)求的最值。

　　 分析：(1)设，，由正弦定理得。

　　 得　 ，

　 (2)。

　　 当时，最小值是；

　　 当时，最大值是。

变式练习：

设、分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右两个焦点，P是双曲线上的一点，若∠P=θ,求证：S_△=bcot

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

　 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

典型例题　

　　 (1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点

　　 (2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

(1)证明：抛物线的准线为

　　 由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得

　　 故直线与抛物线总有两个交点。

　　 (2)解：设点A(x₁，y₁)，点B(x₂，y₂)

变式练习：

直线y=ax+1与双曲线3x²－y²=1交于两点A、B两点

(1)若A、B都位于双曲线的左支上，求a的取值范围

(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题

圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

　　 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

　　 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

典型例题

已知抛物线y²=2px(p>0)，过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p

(1)求a的取值范围； (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于(1)，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y²=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则,又y₁=x₁-a,y₂=x₂-a,

　解得:

(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为(x₃,y₃)，则由中点坐标公式得：

,　　　

所以|QM|²=(a+p-a)²+(p-0)²=2p².又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S_△NAB=,即△NAB面积的最大值为²。

变式练习：

双曲线(a>0,b>0)的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为

(1)求双曲线的方程

(2)设直线y=kx+m(k且m)与双曲线交于两个不同的点C、D，若A(0,-1)且=，求实数m的取值范围

(5)求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。

设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y²=2px(p>0)

设A、B关于L的对称点分别为A^/、B^/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A^/()，B()。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k²-k-1=0.解得：k=,p=.

所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y²=x.

变式练习：

在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

5、了解线性规划的意义及简单应用