5．设数列的前项和为，点均在函数的图象上．

则数列的通项公式为　　　　 ．

4． 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________．高

3．已知函数，则不等式的解集是(　　 )

A．　　　 B． 　　

C． 　　　　　　D．

2． 等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别用S_n和T_n表示，若，则的值为(　　 )

A 　　　　　B　 　　　　C　 　　　　　D　

1．公差不为零的等差数列的前项和为．若是的等比中项, ,则等于　 (　　 )　　　

A．　 18　　　　　　 B．　 24　　　　　 C．　 60　　　　 D．　 90

5．数列与概率的综合

数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．

例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为(　)

　A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：

(1)公差为0的有6个；(2)公差为1或-1的有8个；(3)公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B．

点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．

[思想方法]

[例1]已知等比数列的首项为，公比满足．又已知，，成等差数列． (1)求数列的通项．

(2)令，求证：对于任意，都有

解析：(1)∵　 ∴　 ∴

　　 ∵　　 ∴　　 ∴　

(2)证明：∵　 ，

　　 ∴

．

[分析]转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想．本题中的第(2)问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项，进而由n的范围证出不等式．

[例2]在数列中，，，其中．

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)求数列的前项和；

(Ⅲ)证明存在，使得对任意均成立．

解析：(Ⅰ) ，

，

．

由此可猜想出数列的通项公式为．

以下用数学归纳法证明．

(1)当时，，等式成立．

(2)假设当时等式成立，即，

那么

．

这就是说，当时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何都成立．

(Ⅱ)解：设，　　①

　　　　②

当时，①式减去②式，

得，

．

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

(Ⅲ)证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

．　　③

由知，要使③式成立，只要，

因为

．

所以③式成立．

因此，存在，使得对任意均成立．

[分析]分类讨论思想是数学中的重要思想，本题以数列的递推关系式为载体，综合考查了等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，第2问体现了对运用分类讨论的考查．

[例3]设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点．

(Ⅰ)若 ,求k的值；

(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值．

解析：(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．

如图，设，其中，

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或．

(Ⅱ)解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

　，

当时，上式取等号．所以的最大值为．

[分析]方程与函数思想是数学中的重要思想，该题对于k的求解就是通过建立k的方程，然后解出的；而对于四边形的面积的求解，是通过构造面积关于k的函数关系，然后根据均值不等式来解决其最值问题．

[专题演练]

4．数列与不等式、简易逻辑等的综合

数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．

例7．设若是与的等比中项，则的最小值为(　　 )

　　　　 A．8　　　　 B．4　　　　　 C．1　　　　　 D．

答案：B

解析：因为，所以，

，当且仅当即时“=”成立，故选择B．

点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．

例8．设数列满足为实数．

(Ⅰ)证明：对任意成立的充分必要条件是；

(Ⅱ)设，证明：；

(Ⅲ)设，证明：．

解析： (1) 必要性： ，又 　，即．

充分性 ：设，对用数学归纳法证明_，

　 当时，．假设_，

　 则，且_，

，由数学归纳法知对所有成立．

(2) 设 ，当时，，结论成立．

当 时，_，

　,由(1)知，所以 　且 _，　

_，

　_，

_．

(3) 设 ，当时，，结论成立，

　当时，由(2)知_，

_，

　．

点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．

3．函数与数列的综合

高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．

例6．知函数．

(Ⅰ)设是正数组成的数列，前n项和为，其中．若点(n∈N*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；

(Ⅱ)求函数在区间内的极值．

解析：(Ⅰ)证明：　 因为所以，

由点在函数的图象上,

，　 又，

　所以，是的等差数列，

　所以,又因为,所以,

　故点也在函数的图象上．

(Ⅱ)解:,令得．

当x变化时,﹑的变化情况如下表:

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值．

点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．

2．函数与不等式综合

不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；

③在定义域内，求出函数的最值；

④正确写出答案．

例3．设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的值是最大值为12，则的最小值为(　　　 )

A．　　　 B．　　　　 C． 　　　　D． 4

答案：A

解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z(a>0，b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而=，故选A．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的

最小值常用乘积进而用基本不等式解答．

例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是　　　　　 万元．

答案：70

解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得

目标函数为．

二元一次不等式组等价于

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

如图：作直线，即．

平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．

联立解得．点的坐标为．

(元)．

点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．

例5．设为实数，函数．

(1)若，求的取值范围；

(2)求的最小值；

(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集．

解析：(1)若，则；

(2)当时，，

当时，，

综上；

(3)时，得，

当时，；

当时，△>0，得：；

讨论得：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为．

点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．

1．等差数列与等比数列的综合

等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．

例1．设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=(　　 )

　 　　　A．　　　 B．　　　 C． D．

答案：A

解析：设数列的公差为，则根据题意得，解得或(舍去)，所以数列的前项和．

例2．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列．若=1，则=(　 )

(A)7　　　 (B)8　　　 (3)15　　　 (4)16

解析：4，2，成等差数列，，即，

_{，，因此选C．}

点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．