摘要：5．数列与概率的综合 数列与概率的综合考查.虽然不是经常但很有新意.这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想． 例9．将一骰子连续抛掷三次.它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A． B． C． D． 解析:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个.其中为等差数列有三类: 公差为1或-1的有8个,(3)公差为2或-2的有4个.共有18个.成等差数列的概率为.选B． 点评:本题是以数列和概率的背景出现.题型新颖而别开生面.有采取分类讨论.分类时要做到不遗漏.不重复． [思想方法] [例1]已知等比数列的首项为.公比满足．又已知..成等差数列． (1)求数列的通项． (2)令.求证:对于任意.都有 解析:(1)∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ (2)证明:∵ . ∴ ． [分析]转化思想是数学中的重要思想.把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想．本题中的第(2)问.采用裂项相消法.将式子进行转化后就可以抵消很多项.从而只剩下首末两项.进而由n的范围证出不等式． [例2]在数列中...其中． (Ⅰ)求数列的通项公式, (Ⅱ)求数列的前项和, (Ⅲ)证明存在.使得对任意均成立． 解析:(Ⅰ) . . ． 由此可猜想出数列的通项公式为． 以下用数学归纳法证明． (1)当时..等式成立． (2)假设当时等式成立.即. 那么 ． 这就是说.当时等式也成立．根据可知.等式对任何都成立． (Ⅱ)解:设. ① ② 当时.①式减去②式. 得. ． 这时数列的前项和． 当时.．这时数列的前项和． (Ⅲ)证明:通过分析.推测数列的第一项最大.下面证明: ． ③ 由知.要使③式成立.只要. 因为 ． 所以③式成立． 因此.存在.使得对任意均成立． [分析]分类讨论思想是数学中的重要思想.本题以数列的递推关系式为载体.综合考查了等比数列的前项和公式.数列求和.不等式的证明等基础知识与基本方法.第2问体现了对运用分类讨论的考查． [例3]设椭圆中心在坐标原点.A是它的两个顶点.直线与AB相交于点D.与椭圆相较于E.F两点． (Ⅰ)若 ,求k的值, (Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值． 解析:(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为. 直线的方程分别为.． 如图.设.其中. 且满足方程. 故．① 由知.得, 由在上知.得． 所以. 化简得. 解得或． (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知.点到的距离分别为. ． 又.所以四边形的面积为 . 当.即当时.上式取等号．所以的最大值为． 解法二:由题设..． 设..由①得.. 故四边形的面积为 . 当时.上式取等号．所以的最大值为． [分析]方程与函数思想是数学中的重要思想.该题对于k的求解就是通过建立k的方程.然后解出的,而对于四边形的面积的求解.是通过构造面积关于k的函数关系.然后根据均值不等式来解决其最值问题． [专题演练]

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