2. 设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

(Ⅲ)问是否存在实数(是与无关的常数)，当时，恒有恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由。

[例5](2009年高考北京卷文科第20题)

设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

(Ⅰ)若，求；

(Ⅱ)若，求数列的前2m项和公式；

(Ⅲ)是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

[解析]本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.

(Ⅰ)由题意，得，解，得.

　　　　 ∴成立的所有n中的最小整数为7，即.

　　　 (Ⅱ)由题意，得，

对于正整数，由，得.

根据的定义可知

当时，；当时，.

∴

　　　　　　　　 .

(Ⅲ)假设存在p和q满足条件，由不等式及得.

∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有

，即对任意的正整数m都成立.

　　 当(或)时，得(或)，

　　　 这与上述结论矛盾！

　　 当，即时，得，解得.

　　 ∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范围分别是，.

　评注： 这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

[专题演练]

1．已知函数的图象按向量平移后便得到函数

的图象，数列满足(n≥2，nÎN^*)．

(Ⅰ)若，数列满足，求证：数列是等差数列；

　 (Ⅱ)若，数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，

说明理由；

[例3](2009年高考江苏卷第14题)设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=　　　　 .

[解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9

[例4](2009年高考湖北卷理科第15题)已知数列满足：(m为正整数)，若，则m所有可能的取值为__________。

[解析](1)若为偶数，则为偶, 故

①当仍为偶数时，　 故

②当为奇数时，

故得m=4。

(2)若为奇数，则为偶数，故必为偶数

，所以=1可得m=5

评注：这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。

[例1](2009年高考浙江卷理科第17题)如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足，设AK=t,则t的取值范围是_______.

[解析]此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.。m　

[例2]如图，在平面直角坐标系中，，，，，设的外接圆圆心为E．

(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；

(2)设点在圆上，使的面积等于12的点有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由.

[解析](1)直线方程为，圆心，半径.

由题意得，解得.

(2)∵，

∴当面积为时，点到直线的距离为，

又圆心E到直线CD距离为(定值)，要使的面积等于12的点有且只有三个，只须圆E半径，解得，

此时，⊙E的标准方程为．

评注：这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．

(1)求证：平面⊥平面；

(2)求直线与平面所成的角；

(3)求点到平面的距离．

6．如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，

∠PAC=∠PBC=90 º

(Ⅰ)证明：AB⊥PC

(Ⅱ)若，且平面⊥平面，　　　

求三棱锥体积．

5．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：)为

　(A)　　　 (B)

　(C)　　　 (D)

4．设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于　　　　　 ．

3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　　　 )

A．　　　 B． 　　　　　　C． 　　　　　D．

2． 给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的(　 )条件

A．充要　　　 B．充分非必要　　　 C．必要非充分　　 D．既非充分又非必要