(三)在空间向量共线问题中的应用

在空间几何问题中向量解法已是当今高考命题热点，今后的高考命题中也可能再度升温。解这类题根据共线向量的充要条件解题很容易发现其解题的一般规律是，先选适当原点建立空间坐标系，再将向量用坐标法表示，然后再利用向量代数进行计算解题。

例5、(08湖南)如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，

E是CD的中点，PA底面ABCD，。

(I)证明：平面PBE平面PAB；

(II)求二面角A-BE-P和的大小。

解：

分析：本题的第一小题要证平面PBE⊥平面PAB，而E是CD的中点，即EB⊥AB，所以只要证平面PAB的法向量与BE共线即可。

解：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

(I)因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.

从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

(II)解略

例6、(07安微)如图，在六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

(Ⅰ)求证：A₁C₁与AC共面，B₁D₁与BD共面；

(Ⅱ)求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；

(Ⅲ)求二面角A－BB₁－C的大小(用反三角函数值圾示).

分析：本题是利用共面向量充要条件证明的典例，也就要求我问利用该条件说明与，满足=即可。

解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．

(Ⅰ)证明：

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

(Ⅱ)(Ⅲ)解略。

例7、(08四川) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)证明：四点共面；

(Ⅱ)设，求二面角的大小；

分析：本题要证C、D、F、E四点共面显然可通过CE∥DF，即证与共面来实现，要求二面角A-ED-B的大小，显然可分别过A、B作DE的垂线AN，BM通过求向量、的平面角求得，然后转化为求MN点的坐标，而求MN点的坐标可注意到与共线与向量共线，从而可利用向量共线的充要条件求得。于是有下面的解题过程。

　　　 解：由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

(Ⅰ)设，则

故，从而由点，得

故四点共面

(Ⅱ)、设AB=1，则BC=BE=1

∴B(1，00)　 C(1，1，0)　 D(0，2，0)　 E(1，0，1)

过B点作DE的垂线垂足为M，设M()，注意到DM与ME共线，且BM⊥DE，则设=，由，可求得，，

过A点作DE的垂线垂足为N，设N()，注意到DN与NE共线，且BM⊥DE，则设=，由，可求得，，

因为⊥，⊥

故与的夹角等于二面角的平面角，

所以二面角的大小

轨迹方程的很多题目可以用向量共线的充要条件来探求解，这样可简化分类讨论和运算繁琐，也弥补这两种题缺陷，使解题优化。用向量共线的充要条件解决求轨迹问题，最理想的情形是题设中有“向量的数量积”“平行”即共线。向量成为我们处理问题的基本工具。

例3、如图,过A(-1,0),斜率为k的直线与抛物线C:交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。

分析:本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解答，简单明快，容易接受。

解：设P、Q、R三点坐标分别为， ，，则有，，，。

由A，P，Q三点共线知：//，，

，。

由四边形PFQR为平行四边可知：，

,.

又。

点R的轨迹方程是

例4、已知椭圆，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

分析:本题我们注意到点Q在OP上，于是存在、、共线，因此可借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数、转化已知条件|OQ||OP|=为，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点

解析：设(其中、不同时为0)由非零向量、、共线，可设，，

则,,分别代入椭圆方程、直线方程得：

　　　 (1)

　　　　　 (2)

由||||=得： ，

即　　　　　　 (3)

由(1)、(2)、(3)消去，整理得：

(其中、不同时为0)

所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与轴平行的椭圆。　　　

25、在我国的经济大舞台上，活跃着多种所有制经济，其中唱主角的是(　 )经济

A、国有经济　　 B、集体经济　　 C、公有制经济　　 D、非公有制经济

24、社会主义的根本原则是(　 )

A、共同繁荣　　 B、共同发展　　　 C、共同富裕　　　 D、先富带后富

23、下列属于公民政治权利的是(　 )

①受教育权　 　　②选举权和被选举权　　 ③劳动权 　　　④建议权和监督权

A、①②　　　 B、②③　　　 C、③④　　　 D、②④